Шпора 2 по мат анализу. Реферат. Математика.
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Шпора 2 по мат анализу
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
1.Метрические, линейные,
нормированные пространства.
2.Понятие функции m переменных. Предел функции m
переменных.
Определение 1. Если каждой точке
множества
D ставится в соответствие единственное число у
из I , то говорят, что задана функция n
переменных у= f ( x 1 , …, x n ).
Множество D называется областью определения функции D (у)= D , множество I называется
множеством значений функции I (у)= I .
Если зафиксировать любые n -1 переменные, то функция многих
переменных превращается в функцию одной переменной. x 2 = с 2 ,
x 3 = с 3 ,
…, х n = c n ;
y = f ( x 1 , c 2 , …, c n ) -
функция одной переменной х 1 .
Пример. - функция
двух переменных,
Пусть имеется n +1 переменная
x 1 , x 2 , ... , x n ,
y, которые связаны между собой так , что каждому набору числовых
значений переменных x 1 , x 2 ,
... , x n соответствует единственное значение
переменной y . Тогда говорят , что задана функция f от n
переменных . Число y, поставленное в соответствие набору x 1 ,
x 2 , ... , x n называется значением
функции f в точке ( x 1 , x 2 ,
... , x n ) , что записывается в виде формулы y = f ( x 1 ,x 2 , ... ,
x n ) или y =y ( x 1 ,x 2 , ... ,
x n ).
Переменные x 1 ,
x 2 , ... , x n являются
аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией
от n переменных.
3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m
переменных по одной из переменных.
Пусть функция j(t) непрерывна в точке t 0 и функция f(x) непрерывна в точке
х 0 =j(t 0 ). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t 0 .
Для доказательства этой теоремы воспользуемся
формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем
Выписывая
подчеркнутые кванторы, получим, что
что и говорит о том, что
f(j(t))
непрерывна в точке t 0 . <
Обратите внимание на
следующие детали:
а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t 0 )|0), а после точки х 0
убывает (т.е. f '(х) <0).
Очевидно, что в точке х 0 имеется максимум. Вывод: Если в
достаточно малой окрестности точки х 0 f '(х) >0 при х< х 0
и f '(х) <0
при х > х 0 , то в точке х 0 имеется
максимум.
Если
в достаточно малой окрестности точки х 0 f '(х) <0 при х< х 0
и f '(х) >0
при х > х 0 , то в точке х 0 имеется
минимум.
2.
Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй
производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х 0
, в том числе и в самой точке х 0 , существует первая
производная f '(х). Кроме
того, в точке х 0 существует вторая производная f ''(х 0 ). Исходя из
выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f ''(х 0 )=0.
Посмотрим теперь на f ''(х) как на
первую производную от функции
Допустим,
что f ''(х 0 ) >0. Это означает, что f '(х) возрастает при переходе значений х < х 0 к
значениям х > х 0 . Но f '(х 0 )=0,
поэтому возрастание f '(х 0 )<0, при х
< х 0 и f '(х 0 )>0, при х > х 0 . (для значений х из
достаточно малой окрестности х 0 ). В соответствии с п.1
получается минимум в точке х 0 . Аналогичное рассуждение при
f ''(х 0 ) <0 приводит к существованию максимума в точке х 0 .
Вывод: если f '(х 0 )=0, а f ''(х 0 ) <0, то функция y = f ( x ) имеет локальный максимум в
точке х 0 . Если f '(х 0 )=0,
а f ''(х 0 ) >0, то функция y = f ( x ) имеет
локальный минимум в точке х 0 .
13.Неявные функции.
Производные неявных функций.
Неявная функция
одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости
задана функция , и
пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой
функции , определяемой
уравнением . В этом
случае говорят, что функция задана неявно
уравнением . Для
существования неявной функции требуется выполнение следующих условий:
функция и ее частная
производная по непрерывны в
, . Тогда в
некоторой окрестности точки существует
единственная непрерывная функция ,
задаваемая уравнением , так, что в
этой окрестности .
Неявная функция многих
переменных . Аналогично рассматривают функции многих переменных,
заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение
задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно
функцию или .
Производная неявной
функции . При вычислении производной неявной функции
воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем
уравнение : . Отсюда
получим формулу для производной функции ,
заданной неявно: . Таким же
способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких
переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .
14.Условный экстремум
функции m переменных.
Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух
переменных называют ее экстремум при условии, что точки
берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например,
выразить , то задача о нахождении условного экстремума
сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .
Если уравнение не разрешимо ни относительно , ни относительно , то
рассматривают функцию Лагранжа . Необходимым
условием существования условного экстремума функции при
условии является равенство нулю всех частных
производных функции Лагранжа: .
16.Первообразная. Лемма.
Теорема о первообразной.
17.Понятие
неопределенного интеграла. Основные свойства.
Если F(x)
–первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество
ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным
интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c
6) ò( f ( x )+ g ( x )) dx= ò f ( x ) dx +ò g ( x ) dx ;
7)Если ò f ( x )
dx = F ( x ) + C , то ò f ( ax+b )
dx = ( a ¹ 0).
Все эти свойства
непосредственно следуют из определения.
В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается
при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и
новая переменные и связаны соотношением , где -
обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство
в
правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную
замену .
В частности, используя замену (или ),
получаем формулу
где и -
произвольные постоянные, .
Интегрирую выражение
любого дифференциала произведения, получим:
В интегралах с
подынтегральным выражением вида:
В интегралах с
подынтегральным выражением вида:
Интегрирование с
подстановкой выражений вида после
двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению
относительно вычисляемого интеграла.
20.Основные типы
интегралов, берущихся по частям.+++21.Интегрирование рациональный
алгебраических функций.
22.Метод неопределенных
коэффициентов.
1. Разложим знаменатель
на множители:
2. Правильная дробь
разлагается в сумму простейших и каждому множителю вида соотв. сумма из n простейших
дробей вида:
Каждому множителю вида соот. сумма из m простейших
дробей вида:
3. Неизвестный коэф.
находится методом неопределенных коэф., основанном на: определении, что 2
многочлена тождественно совпадают, если у них равные коэффициенты при
одинаковых степенях.
4. Приравнивая коэф. при
одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему линейных
уравнений относительно неизвестного уравнения.
23.Понятие интегральной
суммы. Геометрический смысл.
Определение.
Пусть непрерывная функция от одной переменной задана на отрезке [a, b].
1) Тогда разбиением отрезка
[a, b] называется конечное множество точек х0 , х1 ... хn , где
а = х0 < х1< х2 <
.... < хn-1 < хn = b
2) обозначим через D хi = хi
– хi-1, i=1, 2, …, n
D = - длина максимального из
отрезков разбиения.
На каждом отрезке , i = 1, 2, …, n,
произвольно выберем и составим сумму
которая называется
интегральной суммой Римана функции f(х), соответствующей
данному разбиению
отрезка [а, b] и выбору точек .
Теперь выясним
геометрический смысл интегральных сумм Римана.
Пусть f (х) непрерывная
на отрезке [а, b] функция, причем f (х) 0, .
Произведение f( )Dхi равно
заштрихованной площади прямоугольника с основанием D х= хi - хi-1 и
высотой f ( ).
представляет собой сумму
площадей n прямоугольников, с основаниями D хi и высотами f ( ), i = 1, 2…, n. Здесь х0=а,
хn = b.
Если при стремлении к нулю
диаметра разбиения отрезка [а, b] существует предел (14),
то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейный
трапеции.
24.Свойства определенного
интеграла.
Df. Промежуток с гранич. т. A и B ориентированным, если указано направление перехода
от т. A к т. B .
1. Пусть сущ.
определенный интеграл сущ.
определенный интеграл и
справедливо равенство
3. Свойство линейности
определенного интеграла:
1.
Пустьф-ии интегрируемы на ***
2.
Пусть , то для любой произвольной
постоянной -
справедлива формула
4. Аддитивность
определенного интеграла:
Пусть ф-ия интегрируема на большем их трех помежутков , тогда она интегрируема на обоих меньших промежутках и
справедлива формула:
1. Пусть ф-ия неотрицательна на и интегрируема на нем,
Док-во : В силу н-ва для ф-ий любая
интегрируема ф-ия неотрицательна Þ любая последовательность интегрируемых сумм будет
иметь неотрицательный предел Þ интеграл будет неотрицательным.
2. Пусть ф-ия на , искл. конечн. точек, и
интегрируема на , тогда
Док-во : Из интегрируемости следует, что
предел не зависит от выбора разбиения на . Достаточно строить инт. разбиения
так, чтобы точки, в которых ф-ия равна нулю, являлись точками разбиения. А
следовательно в силу аддитивности интеграл по всему прмежутку равен сумме
интегралов по частичным промежуткам, т.к ****
3. Инт. от эквивалентных
ф-ий совп.
Пусть эквивалентны и интегрируемы на , тогда (они не совпадают а интегралы
совпадают).
на лишь в конеч. ч. точек отр. , следовательно по 2 му
4. Пусть на , кроме конечного ч. точек, инт. на , , то
5. Пусть инт-ма на Þ модуль ф-ии тоже интегрируем на и справедливо неравенство:
6. Пусть интегрируема на , , то существует М , такая что
25.Интеграл с переменным
верхним пределом.
Теорма:
Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке [a,b],
то функция
Доказательство:
Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х Î [ a , b ]. Для наглядности изобразим
на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
a x 0 x
х+∆х b
По
теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и
абсолютная величина |f(x)|, причем
…(на
этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из
теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема
и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То
выполняются неравенства:
(на
этом следствие из теоремы закончилось)
Отсюда
следует, что при ∆х→0 будет ∆ F →0 . Это доказывает
непрерывность функции F ( x ). Отметим, что для подынтегральной функции f ( x ) точка х
может быть точкой разрыва.
Пусть
F(x) -произвольная первообразная для функции f(x),
заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции
отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
(
в качестве числа х 0 взято число а).
В
этом тождестве положим х=а и получим ,
Откуда
С = -F(a). Формула (1) примет вид:
Заменяя
здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
Иногда
ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:
27.Замена переменных в
определенном интеграле.
Теорема:
при замене переменной х на t по формуле x = φ ( t ) равенство (1)
2.
φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],
3
f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а
f[φ(t)] определена непрерывна на
отрезке [α,β].
Доказательство:
при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и
существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C.
Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо
равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция).
Применяем формулу Ньютона-Лейбница
правые
части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно
приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.
28.Формула интегрирования
по частям определенного интеграла.
Пусть
u и v - непрерывно дифференцируемые функции.
Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.
В
левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:
29.Приложение
определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.
Площадь s криволинейной
трапеции, ограниченной кривой у=Ах 2 +Вх+С, проходящей через точки М 1
(-h; y 1 ), M 2 (0, y 2 ), M 3
(h, y 3 ) (рис. 2) выражается формулой
Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах 2 +Вх+С
координаты точек М 1 , М 2 , М 3 , получаем у 1 =Аh 2 -Вh+С;
у 2 =С; у 3 =Аh 2 +Вh+С, откуда следует, что
Рассмотрим снова криволинейную трапецию,
ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x 0 1, то ряд l расходится,
Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1)
остается открытым.
Доказательство. Согласно определению предела
переменной величины, равенство
означает, что, начиная с некоторого номера n , выполняются
неравенства
где e - наперед заданное сколь угодно малое
положительное число.
Рассмотрим три случая:
а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько
малым, чтобы выполнялось неравенство
и, начиная с некоторого n , неравенство
где q = l + e , в силу чего ( см.
теорему 1 ) ряд (1)
будет сходящимся;
б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы
т.е. ряд (1)
расходится ( см.
теорему 1 )
в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1)
может быть как сходящимся, так и расходящимся.
В самом деле, для гармонического ряда
то ряд (1)
сходится; если l > 1 , то ряд (1)
расходится.
Пусть - непрерывная,
неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба
расходятся.
Доказательство. Ввиду монотонности при всех выполняются
неравенства .
Интегрируя, получаем . Тогда , или . Поэтому если сходится, то . Тогда и , ряд сходится.
Пусть теперь наоборот,
известно, что ряд сходится. Тогда . Взяв произвольное выберем так, чтобы . Тогда . Значит, сходится.
Числовой
ряд, члены которого имеют различные знаки, называется знакопеременным рядом.
. (1)
Рассмотрим ряд, составленный
из модулей его членов:
. (2)
Определение 1 . Ряд (1)
называется условно сходящимся, если сам ряд (1) сходится, а ряд (2),
составленный из абсолютных величин, расходится.
Определение 2. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сам ряд (1) сходится и
ряд из абсолютных величин тоже сходится.
Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного
ряда, сходится, то и сам ряд сходится (из абсолютной сходимости следует
условная).
41.Знакочередующиеся
ряды. Признак Лейбница.
(монотонно стремится к 0), тогда А сходится.
, , то есть последовательность частичных
сумм убывает,
а возрастает.
Каждая из последовательностей ограничена и .
:
43.Теорема об интервале
сходимости степенного ряда.
44.Теорема о радиусе
сходимости степенного ряда.
Похожие работы на - Шпора 2 по мат анализу Реферат. Математика.
Курсовая работа по теме Общая характеристика преступлений против собственности
Почему Общество Не Принимает Людей Сочинение
Заключение Реферата Анатомическая Форма Зубов Нижней Челюсти
Дипломная работа по теме Дизайн-освіта майбутнього вчителя трудового навчання
Курсовая работа: Водосховища Днiпра
Реферат: Общее представление про электронную коммерцию
Реферат: Лучевая болезнь
Вывод В Эссе
Реферат по теме Мерзлотные явления в земной коре (криолитология). Иркутская область
Реферат: Art History Essay Research Paper 1 Define
Приветное Слово Астафьев Сочинение
Әлеуметтік Сұраныс Және Отандық Өнім Эссе
Доклады На Тему Проблемы Вступления России В Вто
Реферат Тема Техника Безопасности Медицинской Сестры
Контрольная работа: Кадровая политика современной организации
Реферат На Тему Основы Взаимозаменяемости
Реферат: Лондонский протокол 1877
Мой Осенний Парк Сочинение 5 Класс
Биология 8 Класс Драгомилов Лабораторные Работы
Обломов Эссе Размышление
Реферат: Соловьиный сад 2
Реферат: The Great Depression Essay Research Paper Social
Реферат: Положение о подготовке и порядке защиты курсовых работ по специальности «Финансы и кредит» 080105. 65 I