Шпаргалка: Высшая математика, интегралы шпаргалка

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Определение 28.7:
Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ). Пояснение:
Пусть: . Тогда: Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве .
Теорема 28.3:
Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Теорема 28.4:
Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5:
Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5:
Если функция определена и ограничена на отрезке , и если можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на . Причём общая длина этих интервалов меньше . То - интегрируема на . Замечание:
Очевидно, что если - интегрируема на , а отличается от только в конечном числе точек, то - интегрируема на и .
Определение 28.9:
Пусть - интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция - интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6:
Если функция - непрерывна на , то у неё существует на первообразная, одна из которых равна: , где . Замечание 1:
Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е. Замечание 2:
Поскольку - одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: . Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
Теорема.
Если 1. Функция и ее производная непрерывны при
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
Док-во:
Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница = . Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной
.

а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на - взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Интегрирование по частям
.
Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.
Положим . Тогда . В качестве выберем первообразную при . Получим . Снова . Тогда . Окончательно получим: . Замечание 26.5:
Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость: . Откуда можно получить выражение для первообразной: .
Интегрирование рациональных функций
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1:
Пусть , тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
1). Корни многочлена - комплексные, сделав подстановку: , получим: .
2). Корни многочлена - действительные: . Подстановка: , получаем: .
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка: , тогда:
или - нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Определение 26.1:
Функция называется первообразной для функции на , если: .
Пусть и - первообразные функции на . Тогда: .
Определение 26.2:
Неопределённым интегралом от функции на называется объединение всех первообразных на этом интервале. Обозначается: . Замечание 26.1:
Если - одна из первообразных на , то . Замечание 26.2:
Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на , т.е. . Замечание 26.3:
Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где u= - произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Определение 28.1:
Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка . Длины частичных отрезков разбиения обозначим: . Мелкостью разбиения (читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .
Определение 28.2:
Пусть в определении 28.1 для всех точки . Интегральной суммой функции на отрезке с разбиением будем называть сумму (зависящую от разбиения и выбора точек ) вида: .
Определение 28.3:
Пределом интегральных сумм функции на отрезке назовём такое число , что . Обозначается: .
Определение 28.4:
Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .
Теорема 28.1:
Если интегрируема на отрезке , то она ограничена на нём.
Замечание 1:
Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Теорема 28.2:
Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Следствие 1:
Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2:
Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8:
Определённым интегралом функции на называется число , равное пределу интегральных сумм на . Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
1. Если с
– постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с
можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и aШпаргалка: Высшая математика, интегралы шпаргалка
Реферат: Karl Marx A Life Essay Research
Законодательный Процесс Понятие Стадии Особенности Диссертация
Систематизация Законодательства Реферат
Реферат: Риторика – теория красноречия
Реферат: Media Coverage And JFK Jr Essay Research
Реферат по теме Таможенные режимы, применяемые при совершении внешнеторговых операций, связанных с продажей
Доклад: Воронихин А.Н.
Курсовая работа: Анализ ассортимента и качества стеклянных бытовых товаров в универмаге ГУМ
Реферат Витамины Гормоны И Ферменты
Общей Собственности Супругов Диссертация Pdf
Реферат: Doryphorus Of Polyclitus Essay Research Paper FA
Курсовая работа: Керамические сосуды античности
Почему Человеку Важно Уметь Прощать Сочинение Аргументы
Голландский Сыр Курсовая Работа Введение
Нужно Ли Приводить Цитаты В Итоговом Сочинении
Договор Страхования Диссертация
Реферат по теме «Кроссовое хозяйство»: аспекты эксплуатации
Сколько Составляет Полное Собрание Сочинений Льва Толстого
Эссе На Тему Казахские Национальные Виды Спорта
Как Писать Итоговое Сочинение Презентация
Доклад: Анакреонт
Реферат: Философские основы кибернетики и методология  применения в военном деле
Курсовая работа: Организация зимнего содержания автомобильных дорог