Шпаргалка: Виды тригонометрических уравнений
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
“Виды тригонометрических уравнений”
1. Простейшие тригонометрические уравнения:
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).
sin(3x -p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим
3х -p/4 = (-1) n
arcsin 1/2 + np, nÎZ.
Зх -p/4 = (-1) n
p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1) n
p/6 +p/4 + np, nÎZ;
Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =
= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.
Ответ: х 1
= 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x 2 =
13p/36 + 2pn/3, nÎZ,
или в градусах: х, = 25° + 120 ·n, nÎZ; x, = 65° + 120°·n, nÎZ.
Решение. Подставим вместо Öз значение ctgp/6, тогда уравнение примет вид
sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;
sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.
По формуле для уравнения cosx = а находим
х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;
x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;
x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;
Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.
Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx·cos2x = 0.
Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
Пример 1. sinx + tgx = sin 2
x / cosx
Решение. cosx ¹ 0; x ¹p/2 + pn, nÎZ.
sinx + sinx/cosx = sin 2
x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx · cosx + sinx - sin 2
x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;
x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;
Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) n+1
arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;
x2 = p/4 - (-1) n+1
·p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n
·p/4 + pn, nÎZ.
Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I) n
·p/4 + pn, nÎZ.
Решение. 2sin 2
x - 3cosx = 0; 2 (l - cos 2
x) - 3cosx = 0; 2cos 2
x + 3cosx - 2 = 0.
Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z 2
+ 32z - 2=0.
Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -
-не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
asin 2
x + bsinxcosx + ccos 2
x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin 3
x + b sin 2
x cosx + c sinx cos 2
x + d sin 3
x = 0 ит.д.
В этих уравнениях sinx¹ 0, cosx¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2
x или на cos 2
x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1. Ö3sin 2
2x - 2sin4x + Ö3cos 2
2x = 0.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение Ö3sin 2
2x - 4sin2xcos2x + Ö3cos 2
2x = 0.
Разделим на cos 2
2x. Уравнение примет вид Ö3 tg 2
2x – 4tg2x + Ö3 = 0.
Пусть z = tg2x, тогда Ö3z 2
- 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.
z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3
2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;
x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
6. Уравнение вида
a
sinx
+
b
cosx
= с
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.
Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.
7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых значений.
Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg 2
x = 2tgx/ (1 + tg 2
x); 2tgx / (3 - tg 2
x) = 2tgx/(1 + tg 2
x)
2tg 2
x - 2 = 0; tg 2
x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
8. Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1.Ö( cos 2
x + ½) +Ö( sin 2
x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos 2
x + ½ + 2 Ö(( cos 2
x + ½) ( sin 2
x + ½)) + sin 2
x + ½ = 4
Ö(( cos 2
x + ½) ( sin 2
x + ½)) = 1; ( cos 2
x + ½) ( sin 2
x + ½) = 1
( ½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;
1 – ¼ cos 2
2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x 2
+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х 2
+ 5х = 6 + pn, nÎZ; х 2
+ 5х - (6+pn) = 0, nÎz;
Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ±Ö(49 + 4pn))/2, nÎz
Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n³ -49/4p; n³ -3.
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
Название: Виды тригонометрических уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка
Добавлен 11:18:17 24 февраля 2002 Похожие работы
Просмотров: 27270
Комментариев: 22
Оценило: 14 человек
Средний балл: 3.2
Оценка: 3 Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Шпаргалка: Виды тригонометрических уравнений
Реферат На Тему Виробничий Потенціал Харківського Регіону Та Напрямки Його Використання
Курсовая работа: Тайна пшеничного зерна ("Братья Каарамазовы")
Гдз Мякишев 11 Лабораторные Работы
Реферат: Трудовое право - Трудовой договор и его заключение
Реферат: Современные проблемы квантовой физики
Реферат: Отечественная история. Курс лекций
Контрольная работа по теме Законодательство о государственной службе, как комплекс нормативных правовых актов различных отраслей права
Статья На Тему Управління Енергетичною Безпекою
Сочинение На Тему Осень И Школа
Реферат: История Кубани. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Основные характеристики пространственной структуры излучения. Скачать бесплатно и без регистрации
Воспитание В Казахской Семье Эссе
Сочинение Про Осень С Прилагательными
Как Написать Эссе На Любую Тему
Реферат: Монтсеррат
Сочинение Егэ Бедная Лиза
Контрольная работа: Расчеты и методы построения тарифов
Логистика Производственного Предприятия Реферат
Курсовая работа по теме Разработка и расчет математической модели в среде Matlab
Реферат Бешенство Людей
Доклад: Основные особенности услуг как объекта маркетинговой деятельности
Доклад: Великобритания в 50-60 годах ХХ века
Сочинение: Тема пути в лирике А. А. Блока