Шпаргалка: Векторная алгебра

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
- раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Суммой a
+
b
векторов a
и b
называют вектор , проведенный из начала a
к концу b
, если конец a
и начало b
совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a + 0=a (наличие нулевого элемента )

a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0
- нулевой вектор, - a
есть вектор, противоположный вектору а
. Разностью a-b
векторов a
и b
называют вектор x
такой, что x+b=a.

Произведением l
x
вектора а
на число l
в случае l
¹
0
, а
¹
О
называют вектор, модуль которого равен |
l
||
a
|
и который направлен в ту же сторону, что и вектор a
, если l
>0,
и в противоположную, если l
<0
. Если l
=0
или (и) a =0,
то l
a
=0
. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
l
*(
a
+
b
)=
l
*
a
+
l
*
b
(дистрибутивность относительно сложения векторов)

(
l
+u)*
a
=
l
*
a
+
u
*
a
(дистрибутивность относительно сложения чисел)

l
*(
u
*
a
)=(
l
*
u
)*
a
(ассоциативность)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство
(линейное пространство).
В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а,
b
, … , с
называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a
,
b
,…,
g
из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c
нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с
называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a
,
b
,…,
g
равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e
1

,
e
2

,
e
3

трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
a
=
a
1

e
1

+
a
2

e
2

+
a
3

e
3

.

Числа a
1

,
a
2

,
a
3

называют координатами (компонентами) вектора а
в данном базисе и пишут a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
.
Два вектора a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
и b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
и b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}
,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a
1

=
l
b
1

,
a
2

=
l
b
2

,
a
3

=
l
b
3

.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
, b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}
и c={
c
1

,
c
2

,
c
3

}
является равенство :

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
и b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}
равны суммам соответствующих координат: a+
b
={a 1
+b 1
,a 2
+b 2
,a 3
+b 3
}
. Координаты произведения вектора а
на число l
равны произведениям координат а на l
:
Скалярным произведением (а, b)
ненулевых векторов а
и b
называют произведение их модулей на косинус угла j
между ними:
За j
принимается угол между векторами, не превосходящий p
. Если а=0
или b=0
, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:
(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l
(a,b)=(
l
a
,b) =(a,
l
6) (сочетательность относительно умножения на число),

(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a
^
b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k
( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
и b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
(
a
,
b
)=
a
1

b
1

+
a
2

b
2

+
a
3

b
3


Косинус угла j
между ненулевыми векторами a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
и b={
b
1

,
b
2

,
b
3

}

Косинусы углов вектора a={
a
1

,
a
2

,
a
3

}
с векторами базиса i
, j, k
называют. направляющими косинусами вектора а:
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е
а
вектора a
на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а
на вектор е
. Проекции обладают свойствами:
Пр. е
(
a
+
b
)= Пр. е

a
+ Пр. е

b
(аддитивность),

Пр. е

a
= Пр. е

l
a
(однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с
называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с
в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c
- левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
правило левой руки правило правой руки

Ниже тройку векторов
i
,
j
,
k
следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i
к j
). Псевдоскалярным произведением a
Vb
ненулевых векторов a
и b
называют произведение их модулей на синус угла j
положительного вращения от a
к k
:
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),

l
(aVb)=
l
aVb (сочетательность относительно умножения на число),

aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a 1
,
a
2

} {
b
1

,
b
2

},
то :

Название: Векторная алгебра
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка
Добавлен 14:22:11 27 марта 2008 Похожие работы
Просмотров: 3117
Комментариев: 20
Оценило: 4 человек
Средний балл: 4.3
Оценка: неизвестно   Скачать

Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Шпаргалка: Векторная алгебра
Банковское Право В Системе Финансового Права Реферат
Курсовая Работа Пример Содержание
История Русской Денежной Системы Реферат
Реферат по теме Склонность к саморазрушению
Реферат: Imf World Bank And Africa Essay Research
Сколько Контрольных Работ Можно Проводить
Сочинение Про Бумажный Листок 3 Класс
Контрольная работа по теме Бетоносмеситель гравитационного перемешивания. Автоподъемник. Многоковшовый экскаватор
Реферат: Социальные проблемы молодежи
Реферат по теме Бытие идеального
Реферат: Личность, право и государство
Реферат по теме Индивидульные трудовые споры в РК
Курсовая Работа На Тему Оценка Финансового Состояния Оао Фапк "Якутия"
Реферат по теме Философские аспекты риска и безопасности
Реферат: Государственное казначейство в системе исполнительного бюджета
Реферат: «интегрального индекса техногенного загрязнения»
Реферат по теме Конструкторское проектирование
Сочинение Декабрьское 2022 Документы На Подпись Учениками
Реферат На Тему Агентирование - Форма Посредничества
Чек Лист Итоговое Сочинение 2022
Доклад: Голодание
Статья: Истоки новгородской государственности
Реферат: Источники конституционного права