Шпаргалка: Ряды

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Пусть имеется Е (х 1
;у 1
) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (x i
;y i
) ставится в соот-е число W i
или любой точке (x i
;y i
) или паре чисел ставится в соот-е z i
след-но z i
=F(х;у), где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (х i
;у i
) и нашли соот-е значения z i
=F(х i
;у i
).
Пусть точка (х 0
;у 0
)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х 0
;у 0
) наз множество точек
(х;у) удовлетвор-х нерав-у
Точка (х 0
;у 0
) наз внутренней точкой множества Е,
если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому множеству.
Точка (х 0
;у 0
) наз граничной точкой
множ-ва Е, если в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а
Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми,
т.е. безграничным.
Точка (х 0
;у 0
)Î множ-ву Е наз изолированной точкой,
если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни одной точки из множества Е.
Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z, то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у,
определ-ся в обл D.
Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2 переменных.
Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.
Обл опред-я фун 2 переменных
– это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у).
Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения.

Опр: Число А наз пределом фун
z=
f(х;у)
при х®х 0
, у®у 0
, М(х;у)®М 0
. lim х
®х0 (у
®у0)
f(х;у)=A
Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х 0
;у 0
) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х 0
) 2
+(y-y 0
) 2
] lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a n
; lim Yn=b => Yn=b+b n
;
Xn ± Yn = (a + a n
) ± (b + b n
) = (a ± b) + (a n
± b n
) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a n
)/(b+b n
) – a/b = (ab+a n
b–ab–ab n
)/b(b+b n
) =(ba n
-ab n
)/b(b+b n
)=g n
=> Xn/Yn=a/b+g n
=> $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной.
Опр: Пусть точка М 0
(х 0
;у 0
) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке
М 0
(х 0
;у 0
), если имеет место равенство lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у)=f(х 0
;у 0
) или lim Dх
®0(
Dу
®0)
f(х 0
+Dх;у 0
+Dу)= f(х 0
;у 0
), где х=х 0
+Dх и у=у 0
+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М 0
(х 0
;у 0
) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и.
Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x 0
;у 0
).
Если (х 0
;у 0
) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х 0
;у 0
)–1 род.
Если (х 0
;у 0
)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый.
Если (х 0
;у 0
) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х 0
;у 0
) – 2 рода.
Св-ва непрерывности в точке:1)Если фун f 1
(х;у) и f 2
(х;у) непрерывны в точке (х 0
;у 0
), то сумма (разность) f(х;у)=f 1
(х;у)±f 2
(х;у), произведение f(х;у)=f 1
(х;у)*f 2
(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f 1
(х;у)/f 2
(х;у), есть непрер-я фун в точке х 0
;у 0
.
Док-во (суммы): По определению получаем, что lim х
®х0(у
®у0)
f 1
(х;у)=f 1
(х 0
;у 0
), lim х
®х0(у
®у0)
f 2
(х;у)=f 2
(х 0
;у 0
) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у)=lim х
®х0(у
®у0)
[f 1
(х;у)+f 2
(х;у)]=
=lim х
®х0(у
®у0)
f 1
(х;у)+lim х
®х0(у
®у0)
f 2
(х;у)=
=f 1
(х 0
;у 0
)+f 2
(х 0
;у 0
)=f(х 0
;у 0
). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х 0
;у 0
, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z 0
=j(х 0
;у 0
), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х 0
;у 0
).
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Если в некоторой точке N(х 0
;у 0
) не выполняется условие lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у)= f(х 0
;у 0
), то точка N(х 0
;у 0
) наз точкой разрыва
фун z=f(х;у).
Условие lim Dх
®0(
Dу
®0)
f(х 0
+Dх;у 0
+Dу)=f(х 0
;у 0
) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х 0
;у 0
), за исключением самой точки N(х 0
;у 0
); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х 0
;у 0
), но не сущ-ет предела lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х 0
;у 0
) и сущ-ет предел lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у), но lim х
®х0(у
®у0)
f(х;у)¹f(х 0
;у 0
).
Если (х 0
;у 0
) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х 0
;у 0
) – 1 род.
Если (х 0
;у 0
) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый.
Если (х 0
;у 0
) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х 0
;у 0
) – 2 рода.
Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области.
Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области.

Св-ва: 1)Если фун f(x;y…) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х 0
;у 0
…) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х 0
;у 0
…)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х 0
;`у 0
…) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х 0
;`у 0
…)£f(х;у…). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл
D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения
m.
2)Если фун f(x;y…) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y…) в обл, то для любого числа m, удовл усл m f(x,y) {f(x 0
,y 0
)0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М 0
(х 0
;у 0
);
Необходимое усл экстремум:
Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x 0
, y=y 0
, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ.
Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y 0
. Тогда ф-ия f(x,y 0
) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x 0
она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x 0
,y=y 0
или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x 0
, y=y 0
или равно нулю или не сущ.
Достаточное усл экстемум:
Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x 0
,y 0
), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x 0
,y 0
) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x 0
,y 0
)/∂x=0, ∂f(x 0
,y 0
)/∂y=0.
∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
*∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶y 2
-(∂ 2
f(x 0
,y 0
)/∂x∂y) 2
>0 и ∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
<0
∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
*∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶y 2
-(∂ 2
f(x 0
,y 0
)/∂x∂y) 2
>0 и ∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
>0
∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
*∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶y 2
-(∂ 2
f(x 0
,y 0
)/∂x∂y) 2
<0
4)Если ∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶x 2
*∂ 2
f(x 0
,y 0
)/¶y 2
-(∂ 2
f(x 0
,y 0
)/∂x∂y) 2
=0, то экстремум может быть, а может и не быть.
Неявнозаданная функция и нахождение ее производной.
Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно,
если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢ x
=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)];
Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)]
Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS 1
,DS 2
,DS 3
…DS n
). На каждой площадке возьмем по точке P i
(P 1
,P 2
,P 3
…P n
). f(P i
) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(P i
)DS i
. V n
= n
å i=1
f(P i
)DS i
– это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D.
Опр: Предел lim max
di
®0
n
å i=1
f(P i
)DS i
интегральной суммы n
å i=1
f(P i
)DS i
, если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DD i
и от выбора точек P i
ÎD i
наз двойным интегралом зад фун
z=
f(
x;
y) по обл
D.

Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел lim max
di
®0
n
å i=1
f(P i
)DS i

т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. lim max
di
®0
n
å i=1
f(P i
)DS i
=óó D
f(x;y)dxdy=(или)= =óó D
f(x;y)dS/¶
1)óó D
(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óó D
f1(x,y)dxdy+óó D
f2(x,y)dxdy
2) óó D
a f(x,y)dxdy=aóó D
f(x,y)dxdy.
óó D
f(x,y)=óó D
1
f(x,y))+óó D
2
f(x,y).
Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D 1
и D 2
.
óó D
f(P i
)DS i
=óó D
1
f(P i
)DS i
+óó D
2
f(P i
)DS i
, где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D 1
, вторая – соот-е площадкам обл D 2
. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D 1
и D 2
яв-ся границей площадок DS i
. Переходя в равенство
óó D
f(P i
)DS i
=óó D
1
f(P i
)DS i
+óó D
2
f(P i
)DS i
к пределу при DS i
®0, получаем равенство
óó D
f(x,y)=óó D
1
f(x,y))+óó D
2
f(x,y).·
4) Если фун f(x,y)=1, то óó D
1dxdy=S D

5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть
7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл I D
от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D.
в
ó а
( j
2(x)
ó j
1(x)
f(x,y)dy)dx=f(P)*S.
mS£ в
ó а
( j
2(x)
ó j
1(x)
f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*I D
£MS. Число 1/S*I D
заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*I D
.
Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма
DVi= n
å i
=1
f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D.
lim max
di
®
0
n
å i
=1
f(xi,yi)*DSi=V Т
если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=V цил

S пов.
= óó[Ö1+(dz/dx) 2
+(dz/dy) 2
dxdy].
Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”…у n
)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”…у n
)=0 наз порядковым ур-ем.

Решением ур
F(
x;
y;
y’;у”…у
n
)=0
наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”…у n
)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”… j(х) n
)=0.
Фун вида у=j(х;С 1
;С 2
;…С n
) наз общим решением ур
F(x;y;y’;у”…у n
)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С 1
;С 2
;…С n
; 2) для любых начальных усл х 0
, у 0
, у ’
0
, у n
0
можно найти конкретную совокупность С 1 0
;С 2 0
;С 3 0
;…С n 0
при которых фун у=j(х;С 1 0
;С 2 0
;С 3 0
;…С n 0
), что эта фун будет удвл начальному условиям.
Соот-е вида j(х;С 1
;С 2
;С 3
;…С n
)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”…у n
)=0 наз общим интегралом ур
F(x;y;y’;у”…у n
)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).
Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур
. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество.
Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением
, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям.
Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я.

Опр: Частным реш-м
наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз- ся в этом случае частным интегралом ур.

Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка:
1). Ур-е с разделенными переменными
f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2). Ур-е с разделяющимися переменными
f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x)
∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3). Линейные диффер. ур.
y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0.
Методы решений: 1) Метод вариации постоянной;
2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-PdxlnC1+lnV=-∫Pdx
V= C1e –
∫
Pdx
и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q
V(x)= e –∫
Pdx
, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная
V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x)
Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли)
y’+P(x)y=Q(x)y n
, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли
, приводится к линейному следующим преобразованием .

Разделим на y n
с наибольшим значением n, получим
(y –
n
)y’+P(y –
n+1
)=Q, Сделаем далее замену z=(y –
n+1
), тогда dz/dx=(-n+1)(y -
n
)y’. Подставляя эти значения в ур-е
(y –
n
)y’+P(y –
n+1
)=Q, будем иметь линейное ур-е
Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (y –
n+1
), получим общий инт. ур.Бернулли
Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем,
если фун. f(x;y)
–однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t 0
)f(x;y).
Фун. f(x;y) наз- ся однор.ур-ем
k-го порядка однородности
, если вып. усл. f(tx;ty)=(t k
)f(x;y); f(tx;ty)=(t 0
)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + CÞ вместо U подст. y/x и получим общий инт.
Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.
Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав
. наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0
Общим решением
наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е.
Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)
Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)
Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.
y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2
2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e –∫
P(
x)
dx
)]/(y 1
2
)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2
Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.
3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.
C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’
C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx
Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.
Рассмотрим случай: y ’’
+py ’
+qy=f(x), p,q – числа. y=c 1
y 1
+c 2
y 2
+y *
, где y 1
, y 2
– два лин-но незав. реш.
(1) y ’’
+ py ’
+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.
y=e kx
k 2
+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).
1. D>0, k 1,2
=(-p±Ö(p 2
-4q))/2, k 1
¹k 2
y 1
=e k
1
x
, y 2
=e k
2
x
.
Т.к. y 1
/y 2
¹const, то y=c 1
e k
1
x
+c 2
e k
2
x
.
y 1
=e -px/2
, y 2
=y 1
∫(e --
∫
pdx
)/y 1
2
dx=e -px/2
, y=e -px/2
(c 1
+c 2
x).
3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k 1,2
=a±bi, y 1
=e a
x
Cosbx, y 2
=e a
x
Sinbx, y 1
/y 2
¹const, y=e a
x
(c 1
Cosbx+c 2
Sinbx)
Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.
1. f(x)=P n
(x)e a
x
1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия
y *
=(A 0
x n
+A 1
x n-1
++...+A n
)=Q n
(x)e a
x
.
a - однократный корень y *
=xQ n
(x)e a
x
.
3) a - двукрат. корень y *
=x 2
Q n
(x)e a
x
.
2. f(x)=p(x)e a
x
Cosbx+q(x)e a
x
Sinbx
1) a+bi – не корень y *
=U(x)e a
x
Cosbx+V(x)e a
x
Sinbx.
2) a+bi – корень y *
=x[U(x)e a
x
Cosbx+V(x)e a
x
Sinbx].
1)bi – не корень, y *
=ACosbx+BSinbx.
2)bi – корень, y *
=x(ACosbx+BSinbx).
Числовые ряды. Основные определения.
Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U 1
, U 2
...U n
,... Выражение U 1
+U 2
+...+U n
+... наз-ся числовым рядом
,
Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся
n-ой частичной суммой ряда
: S n
= U 1
+U 2
+...+U n
.
Если сущ-ет конечный предел lim n
®
¥
S n
=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim n
®
¥
S n
равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim n
®
¥
S n
,
то ряд сходится.
Некоторые очевидные свойства числовых рядов:
1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.
Док-во
: S n
– сумма n первых членов ряда, C k
– сумма k отброшенных членов, D n
-
k
– сумма членов ряда, входящих в сумму S n
и не входящих в C k
. Тогда имеем: S n
=C k
+D n
-
k
, где C k
– постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD n
-
k
, то сущ-ет и limS n
; если сущ-ет limS n
, то сущ-ет limD n
-
k
, а это доказ-ет справедливость теоремы.
2)Теорема 2. Если ряд a 1
+a 2
+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca 1
+ca 2
+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.
Док-во:
обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S n
, а ряда (2) – через D n
. Тогда D n
=ca 1
+...+ca n
=c(a 1
+...+a n
)=cS n
. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.
lim D n
=lim(cS n
)=climS n
=cS. ч.т.д.
3)Теорема 3. Если ряды a 1
+a 2
+...(5) и b 1
+b 2
+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S 1
и S 2
, то ряды (a 1
+b 1
)+(a 2
+b 2
)+...(7) и (a 1
–b 1
)+(a 2
–b 2
)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S 1
+S 2
и
Док-во:
док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D n
, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S 1
n
и S 2
n
, получим: D n
=(a 1
+b 1
)+...+(a n
+b n
)=(a 1
+...+a n
)+(b 1
+...+b n
)=S 1
n
+S 2
n
. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limD n
=lim(S 1
n
+S 2
n
)= limS 1
n
+limS 2
n
=S 1
n
+S 2
n
.
Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S 1
n
+S 2
n
.
4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU n
=0 n®¥.
Док-во:
пусть ряд U 1
+U 2
+...+U n
+... сходится, т.е. limS n
=Sn®¥, тогда имеет место равенство limS n
-1
=S.
limS n
–limS n-1
=0, lim(S n
–S n-1
)=0. Но S n
–S n
-1
=U n
следов-но limU n
=0 ч.т.д.
Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.
1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U 1
+U 2
+...+U n
+...(1), S 1
n
; V 1
+V 2
+...+V n
+...(2) S 2
n
; Известно,что V n
³U n
при n³N 0
.
если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;
если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.
Док-во:
Из сходимости ряда (2) следует, что $limS 2
n
=S. S 1
n
=U 1
+U 2
+...+U N
0
+U N
0+1
+...+U n
=S N
0
+V N
0+1
+...+V n
. limS 1
n
=lim(S N
0
+D n
-
N0
)=S N
0
+D. S 1
n
– возраст. послед-ть, ограниченная числом S N
0
+D => $limS 1
n
=S n
1
.
2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU n
/V n
=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.
3) Признак Даламбера .
Если $lim(U n
+1
/U n
)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во:
1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L1. тогда из равенства lim(U n
+1
/U n
)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (U n
+1
/U n
)>1, или U n
+1
>U n
для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.
4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами lim n
ÖU n
=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.
Док-во:
1) пусть L<1. Рассмотр число q, L1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: n
ÖU n
>1 или U n
>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U N
, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.
5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥
å n=1
U n
, где члены ряда убывают U n
>U n
+1
>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U n
.
Если не собственный интеграл ¥
ò 1
f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥
ò 1
f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.
Под знакочередующимся
рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.
Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U 1
>U 2
>U 3
… и предел его общего члена при n®¥ равен 0
(Lim n
®
¥
U n
=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U 1
³S.
Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:
S 2m
=(U 1
-U 2
)+(U 3
-U 4
)+…+(U 2m-1
-U 2m
). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S 2
m
имеет предел Lim m
®
¥
S 2
m
=S. Переходя к пределу в неравенстве S 2
m
|Х 1
|.
Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х 0
≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Lim n
®
¥
U n
=Lim n
®
¥
C n
X 0
n
=0. Значит последовательность |C n
X 0
n
| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |C n
X 0
n
||X 1
| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х 1
(т.к. |X|>|X 1
|), что противоречит условию.·
Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости
, а интервал (-R;R)- интервала сходимости
степенного ряда.
2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.
4) Степенные ряды вида а 0
+а 1
х+а 2
х 2
+…+а n
х 2
+…+а n+1
х n+1
+… и
а 0
+а 1
(х-х 0
)+а2(х-х 0
) 2
+…+аn(х-х 0
) 2
+… сходяться равномерно.
5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.
Ряд U 1
+U 2
+..+Un+.. называется функциональным,
если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U 1
(Х)+U 2
(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости
этого ряда.
Обозначим через S n
(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=S n
(x)+r n
(x), где r n
(x) есть сумма ряда U n
+1
(x)+U n
+2
(x) +…, т.е. r n
(x)= U n+1
(x)+U n+2
(x) +… В этом случае величина r n
(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Lim n
→∞
r n
(x)= Lim n
→∞
[S(x)-S n
(x)]=0, т.е. остаток r n
(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.
Функциональный ряд U 1
(Х)+U 2
(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым
в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а 1
+а 2
+а 3
+…+а n
..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U 1
(x)│≤a 1,
…,│U n
(x)│≤a n
,… Иначе, ряд называется мажорируемым,
если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.
Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a) 2
/2!]+…
…+f n
(a)[(x-a) n
/n!]+R n
(x), (1) где остаточный член R n
(х)={[(x-a) n+
1]/[(n+1)!]}f (
n+1)
[a+q(x-a)], где 0Шпаргалка: Ряды
Сочинение Друзья От Имени Мальчика
Сочинение Рассуждение По Произведению Дубровский
Основной капитал предприятия
Реферат: Основы тылового обеспечения танковых частей и подразделений
Реферат по теме Характерні риси трьох етапів еволюції кубізму
Проблемы Обращения В Русском Языке Эссе
Диссертация Самаров
Математика 6 Класс Контрольная Работа Деление
Собрание Сочинений Fb2 Rtf
Курсовая работа по теме Повышение эффективности работы магазина бытовой и электронной техники 'М.Видео'
Реферат по теме Золотая Орда
Курсовая работа по теме Функционирование системы местного управления
Реферат На Тему Метаболические Осложнения Сахарного Диабета
Курсовая работа: Изменения, произошедшие в финансовой системе России, в переходе к рыночной экономике. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат На Тему Школа Человеческих Отношений, Подходы К Управлению
Дипломная работа по теме Математическая модель цифрового устройства игры 'Крестики-нолики' с человеком
Реферат Государственная Система Стран Латинской Америки
Реферат: Глобализация: миф или реальность?
Реферат: Управление персоналом как научная и учебная дисциплина
Контрольная работа: Общественное мнение 6
Статья: Понятие деятельности в социальной теории
Доклад: Неоднородность ментального пространства культуры и своеобразие типов его “жизнедеятельности”
Реферат: Статистические показатели в мясном скотоводстве