Розв'язки тесту на знання шкільної програми

Дисклеймер: до кожного завдання намагався додати якомога повніше і зрозуміліше пояснення, з усіх можливих боків. Тому якщо відчуваєте біль у нижній частині спини на певному реченні -- читайте далі, і скоріше за все він припиниться.

Математика (Теорія ймовірності)

В Україні 1% від популяції інфіковано ковідом. Ви їдете закордон, і для цього тестуєтесь тестом з точністю 99% (себто ймовірність, що тест покаже правильний результат). Якщо тест виявляється позитивним, то яка ймовірність того, що ви інфіковані?

Правильна відповідь: 50%. Неправильна: 99% та інші.

Протестуємо 10000 таких мандрівників. Серед них 100 будуть інфіковані, а отже 99 матимуть позитивний результат тесту, і один з них -- негативний. Звичайно, негативних результатів може виявитися 2 або жодного, але з найбільшою ймовірністю їх буде саме 1, про це напишу інший пост вже зовсім згодом.

Серед 9900 здорових мандрівників тест помилиться на 99 з них -- одній сотій від загальної кількості, згідно з його точністю. Тож тепер ми маємо 99 здорових людей з позитивним результатом тесту, разом з 99 інфікованих з таким же. Отже, ймовірність що ви інфіковані за умови позитивного результату -- 50%. 1/2, себто 99/(99+99). Ось так от -- шкільну програму певно знаєте, а результатам тестів чомусь свято вірите.

Якось на цей аргумент мені сказали, що тестують не 10000 людей взагалі то. Вони не були антивакцинаторами, але зрозуміти, що від кількості в прикладі результат обрахунку не зміниться, на жаль не змогли. Можете спробувати підставити довільне число, як от моє улюблене -- n, і переконатись самостійно.

Досі не вірите? Маю для вас чудовий приклад -- тести для вагітності. Вони мають, згідно з різними джерелами, точність 97-99%. Якщо ви чоловік і випробуєте його на собі, в одному всесвіті зі ста ви отримаєте позитивний результат. Чи означатиме це, що ви вагітний з ймовірністю 99%? Так, заради мільйону доларів ми себе і не в таке змусимо повірити. Чи означає це, що у вас рак яєчок -- ось це куди ймовірніше. Джерело тут. Аби не читати доволі дискомфортний, проте дуже важливий текст про самодіагностику, я вам напишу лише те, що трохи стосується завдання:

Pregnancy tests work by detecting human chorionic gonadotropin (HCG), a hormone in the blood and urine produced by the developing placenta. It turns out that some types of testicular cancer make the same hormone.

Назад до ймовірностей. Ось тут можете погратись з різними числами поширення хвороби. Що ж робити і як вірити результатам наприклад швидких антиген тестів? Для цього пригадаємо матапарат.

У найпростішому і найзастосовнішому вигляді ймовірність А достатньо означити як частку подій, які містять А -- відношення кількості (потужності множини) подій, які містять А, до кількості всіх можливих подій. Для події "цей во, захворів" ця частка в нашій задачі рівна 1% -- відношення кількості інфікованих до кількості всіх людей. Тепер ймовірність, що відбудеться/відбулась А за умови В, означається та вираховується ось так:

де модуль означає потужність множнини, підкова означає перетин множин -- події, які містять А та В, а U -- універсальну множину. Відповідно |U| це кількість всіх можливих подій. В нашому випадку -- населення України.

Тепер поміняйте місцями А та В і отримайте:

Це можна записати як:

Як бачимо, перший множник у чисельнику це точність тесту -- 99%. Так як ми нічого не знаємо про мандрівника, можна спокійно припустити, що ймовірність, що він інфікований рівна частці інфікованих у популяції -- 1%. Знаменник же можна розписати наступним інтуїтивним чином:

Якщо формула не виглядає надійно, то можете довести це в загальному випадку через перетин множини подій "тест позитивний" з взаємовиключними, але доповняльними множинами "інфікований" та "не інфікований".

Лишається порахувати другий доданок в знаменнику. Аналогічно, перший множник це ймовірність хиби тесту -- 1%, а другий -- частка неінфікованиз в популяції -- 99%. Підставляючи, отримуєте ймовірність, що мандрівник інфікований -- 50%.

Тепер ви володієте потужним матапаратом Баєсівського міркування. Навіщо ми його вивели? Припустимо, що в мандрівника є симптоми ковіду, як от нежить. Тоді апріорна ймовірність, що він інфікований, вже не буде 1%, а значно виросте, і це призведе до збільшення ймовірності інфікування за позитивного тесту. Ба більше, проведення другого тесту після першого на безсимптомному мандрівнику дасть ймовірність інфікування за умови другого позитивного результату вже 50/51=98% (підставте P(інфікований)=50%), що вже вказує на достовірність інфікування.

Зауважимо, що у тестів насправді є дві характеристики ефективності: чутливість P(+|І) -- ймовірність позитивного результату за умови інфікування, та специфічність Р(-|~І) -- ймовірність негативного результату якщо пацієнт неінфікований. У наявних ковід-тестів чутливість варіюється від 0.7 до 0.95, в той час як зі специфічністю все значно краще і вона досягає 0.95 для більшості ПЛР-тестів. Провівши обчислення для чутливості та специфічності 95% ви отримаєте ймовірність інфікування за умови позитивного тесту 15%. Це, в свою чергу, вказує на те, що масове тестування безсимптомних на початку пандемії є колосальною витратою ресурсів, так як за поширеності .1% більше 98% позитивних тестів будуть хибно позитивними.

До формули Баєса потрібно ставитись не як до софістики, а як до потужного апарату. Наприклад, просто перетасувавши множники, можна отримати наступне:

Уявіть, що ви випадково обрали людей в популяції і протестували їх, отримавши оцінку P(+). Тепер, кожного з позитивних ви тестуєте кількома ПЛР тестами підряд аби отримати справжнє значення Р(І|+). Знаючи чутливість тесту (знаменник) ви можете отримати хорошу оцінку поширеності хвороби в популяції. Приблизно так в Нідерландах це і роблять. І це безкінечно інформативніший показник, ніж кількість активних кейсів у країні.

Успіхів у застосуванні формули Баєса! Адже застосувань у неї мінімум стільки ж, скільки множників, до довільної ситуації.

Фізика

Перед вами брусок, який складений з двох частин однакової маси. Перша має густину 500 кг/м^3, друга — 2000 кг/м^3. Питання: чи втоне він у воді?

Правильна відповідь: не втоне. Неправильна: втоне.

Напевно ви сплутали однакову масу з однаковим об'ємом і тому порахували густину бруска як середнє арифметичне. А може подумали, що однакова маса та однаковий об'єм те саме. А може молодець, і не допустили цих помилок. В школі вивчають не лише середнє арифметичне, але й середнє геометричне, і сплутання двох може призводити до страшних фінансових розорень. Тож як розв'язувати задачу?

1 спосіб: Почнемо з простого і порахуємо сили, які діють на кожну частину бруска. Обидві мають масу m, тому сила тяжіння на брусок 2mg. На першу частину діє виштовхувальна сила (р то ро, густина) p_вV_1g=1000*m/500*g=2mg. Власне, цього вже достатньо, аби брусок не втонув. Друга частина, як легко переконатись, дає ще .5mg виштовхувальної сили, тож брусок плаватиме.

2 спосіб: Порахуємо густину бруска. Маємо:

Як бачимо, це менше за густину води, тож брусок плаватиме. Це, до речі, зветься середнім гармонійним. У випадку однакових об'ємів густина обчислювалась би як середнє арифметичне, але не в цьому випадку. Пам'ятайте і про іші середні, а краще взагалі без потреби не обраховуйте їх.

Хімія:

Доповніть реакцію за нормальних умов:

H2O+SiO2->?

Правильна відповідь: не реагує. Неправильна: H2SiO3, H4SiO4.

Якби реакція йшла, то з пляжу ви б приходили як з рівненського Басового Кута -- без ніг. SiO2, до речі, це єдиний кислотний оксид, який не реагує з водою. Інакше пляжі були б лише з галькою, а пасочки б мішались разом з руцями.

Українська мова:

Оберіть правильне слово:

Щиро вітаємо (Вас/вас), Ольго, у нашій компанії!

Дорогі працівники та працівниці! Щиро вітаємо (Вас/вас) з днем заснування компанії!

Поставте розділовий знак:

Діти антиваксів як сторіс в інстаграмі _ у вас не так багато часу, аби їх побачити.

Відповіді: Вас, вас, : (двокрапка).

Я й сам часто допускаю помилку з тире, але це єдиний конфузний випадок згідно з правилами. Що ж до Вас, то ви певно чули про зникнення цієї форми ввічливості з лиця Землі, але як виявилось -- ні. Читайте і просвітляйтесь, навіть Авраменко за.

Підсумуємо?

Теорію ймовірностей ніде адекватно не викладають, мені здається, та й ідея це доволі нетривіальна. Моєму хрещенику це впарюють у 2 класі -- якого дідька? Множини лише нещодавно в 4 були. Але ідея це не лише нетривіальна -- вона потужна і єдино можлива (якщо ви, звичайно, не всевидячий Сварог), і без неї пізнавати світ ніяк, особливо науковцям. Тому не будьте наукивцями та вчіть теорію ймовірностей та статистику -- інакше, на жаль, вам заборонено робити висновки (я серйозно).

З фізики важко було підібрати щось, що б застосовувалось до буденності настільки ж яскраво -- по суті вийшла математична задача. І це вкотре демонструє, що без математики ніяк. І та, обережно з середніми. Про це буде окремий яскравий пост.

З хімії я намагався підібрати щось, де треба зайвий раз подумати, а не просто бігти гуглити. А зважаючи на мої дріб'язкові знання, вийшло питання з 7-8 класу, яке проте демонструє винятки з правил. А це корисно, благо (чи на жаль) у фізиці винятки відсутні.

Українська мова -- я хоч і полюбив лінгвістику аж в 11 класі, бомбардувати складносурядністю та підрядністю не хотілось (терміни, які відбивали у мене всіляке бажання вивчати мову, але які ховають дуже прості та інтуїтивні концепції). Тому вийшло щось дуже застосовне -- не вмерла форма Ви, яку Ви, переконаний, застосовуєте ледь не щотижня.

Тож, чи допоможе нормальна біологія в школі зменшити відсоток антиваксів -- вирішуйте самі. Вона була настільки ж нормальна, як і решта предметів. Але переформатування школи це значно складніша робота, ніж кілька відкритих лекцій та кімнат у музеях та наукових центрах, з примусовою чи вільною формою відвідування -- а яка різниця, всерівно пропагандою назвуть.