Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Главная
Программирование, компьютеры и кибернетика
Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
Визначення і розв’язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера, алгоритм розв’язання, похибка при вирішенні. Складання блок-схеми. Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal. Результат роботи програми.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
2. Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
3. Розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера
а) похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера. Алгоритм розв'язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
5. Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА МЕТОД ВИРІШЕННЯ
Вирішити диференціальне рівняння чисельним методом ( у / =f(x,y)) це означає для заданої послідовності аргументів х 0 , х 1 …, х n і числа у 0 , не визначаючи функцію у=F(x),знайти такі значення у 1 , у 2 ,…, у n , що у i =F(x i )(i=1,2,…, n) і F(x 0 )=y 0 .
Таким чином численні методи дозволяють замість знаходження функції У=F(x) отримати таблицю значень цієї функції для заданої послідовності аргументів. . Величина h=x k -x k-1 називаеться кроком інтегрування.
Метод Ейлера відноситься до численних методів, що дають відповідь у вигляді таблиці наближених значень шуканої функціїу(х). він є порівняно грубим та використовуеться в основному для приблизних розрахунків.
Визначення. Загальні відомості про задачу Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку
Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння виду :
де порядок старшої похідної к називається порядком звичайного диференціального рівняння. Звичайне диференціальне рівняння має безліч розв'язків. Для знаходження хоча б одного розв'язку потрібні додаткові умови. Ці умови можуть бути двох типів - задача Коші та Краєва задача. Згідно теми курсової роботи розглянемо лише перший тип умови, тобто задачу Коші. При розв'язанні задачі Коші додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної. Наприклад, при х = а задані значення функції і можливі деякі похідні шуканої функції і так далі…. . Існують декілька методів розв' язання задачі Коші:
Нульовим наближенням всіх вище перерахованих методів вирішення задачі Коші є метод Ейлера.
Розв ' язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Ейлера
Розглянемо найпростіший метод вирішення задачі Коші. Проілюструємо його на прикладі звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Підстановка ПУ в початкове ЗДР* дає значення похідної функції в початковій точці. Розв'язок в наступній точці записується у вигляді:
При цьому допускається похибка : . Далі використовується точка, яку можна вважати початковою і за допомогою її визначається наступна точка і так далі.
Отже узагальнена формула методу Ейлера набуває вигляду:
Похибка, що допускається на кожному кроці : . Сума всіх похибок при обчисленні на кожному з кроків вирішення дає нам загальну похибку . Метод Ейлера є аналогом методу прямокутників для чисельного інтегрування. Якщо права частина початкового ДР* не залежить від у, то значення шуканої функції в точці визначається інтегралом і тоді загальна формула методу Ейлера являє собою формулу лівих прямокутників. Але, на відміну від інтегрування, де похибки просто сумувалися, при вирішенні ДР похибка на попередньому кроці веде до ще більшої похибки на наступному кроці, і як правило сумарна похибка зростає експоненціально з кількістю пройдених вже кроків. . Тож використовуємо модифікований метод Ейлера як найбільш точний.
Похибка при вирішенні задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку методом Е й лера
Для ЗДР першого порядку що має ПУ загальна формула методу Ейлера має вигляд . Якщо позначити дійсне вирішення задачі Коші як , то похибка Е в вузлі може бути представлена у вигляді
Кали ми визначаємо приріст функції
Якщо припустити, що початкова похибка рівна нулю, то випливає висновок :
Тепер, якщо замінити у границі , отримаємо:
З останнього співвідношення видно, що при похибка Е зростає експоненціально з координатою (при отримуємо ).
На мал.1 приведені підрахунки для рівняння (вирішення - ). Єдиний спосіб оцінити масштаби похибки, що наросла - провести декілька пробних підрахунків з різними кроками по х.
Алгоритм розв'язання диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера
Нижче поданий алгоритм чисельно інтегрує звичайне диференціальне рівняння першого, другого та третього порядку з використанням модифікованого прямого методу Ейлера
При чисельному інтегруванні диференціального рівняння першого порядку y' = F(x,y)
З початковою умовою y(x0 ) = y0 (задача Коші) спочатку вибираємо
порядок похідної - у нашому випадку згідно з варіантом курсової - порядок 1 (диференціальне рівняння першого порядку). Далі визначаємо коефіцієнти та коефіцієнт при х. Вводимо границі відрізку . Фіксований приріст аргументу h = (xf -x0 )/n, де xf - кінцева точка інтервалу інтегрування , n - кількість кроків. Потім, використовуючи процедуру модифікованого методу Ейлера, , обчислюємо yk згідно з рекурсивною формулою:
yk = yk-1 +h[Fk-1 +F(xk , yk-1 +hFk-1 )]/2
де Fk = F(xk , yk ). Можна використовувати іншу рекурсивну формулу:
yk = yk-1 +F(xk-1 +h/2, yk-1 +Fk-1 h/2)
Після визначення кроку, вводимо значення початкової умови. Отримуємо таблицю відповідей.
Реалізація алгоритму у середовищі Borland Pascal
yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;
writeln('введите наивысший порядок производной (в нашем случае - 1)');
writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера');
writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');
if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin
writeln('введите коэффициент при x');
writeln('задайте начальные условия y(x)= ');
p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];
write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];
write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');
p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];
write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];
write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];
write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');
write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');
У випадку, коли порядок похідної = 0:
2. ЗДР* - звичайне диференціальне рівняння
Щодо реалізації алгоритму у середовищі Borland Pascal :
· Боровик В.О., Тиркусова Н.В. програмування: Навч. посібник.-Суми: Вид-во СумДУ, 2004.-Частина 1.-107с. - Рос. Мовою
· Боровик В.О., Тиркусова Н.В. програмування: Навч. посібник.-Суми: Вид-во СумДУ, 2004.-Частина 2.-107с. - Рос. Мовою
Щодо математичного обґрунтування методa:
· Диференціальні рівняння : Навчю посібник А.М. Самійленко, С.А. Кривошия, М.О. Перестук. - К.: Либідь, 2003-504 с.
Загальні відомості та геометричний зміст розв'язання задачі Коші. Використання методу Ейлера для розв'язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Розробка блок-схеми та реалізація алгоритму в середовищі програмування Borland Delphi 7.0. курсовая работа [398,1 K], добавлен 14.10.2012
Стандартний спосіб розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку чисельними однокроковими методами. Геометричний зміст методу Ейлера. Побудова графіку інтегральної кривої. Особливість оцінки похибки за методом Рунге. курсовая работа [112,9 K], добавлен 30.11.2009
Метод розв’язків рівнянь більш високих порядків. Вибір методу розв'язання задачі Коші. Методи розв'язання крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку. Вибір методу інструментальних засобів вирішення задач. курсовая работа [132,0 K], добавлен 03.12.2009
Огляд та аналіз методів розв’язання системи диференціальних рівнянь та вибір методів рішення. Алгоритми методів Ейлера. Вибір методу рішення задачі Коші. Рішення диференціальних рівнянь. Отримання практичних навиків програмування на мові Паскаль. курсовая работа [174,3 K], добавлен 06.03.2010
Розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь методом дихотомії. Вирішення задачі знаходження коренів рівняння. Розробка алгоритму розв’язання задачі і тестового прикладу. Блок-схеми алгоритмів основних функцій. Інструкція користувача програмою мовою С++. курсовая работа [2,0 M], добавлен 24.09.2010
Розгляд та аналіз основних способів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь за методом Рунге-Кутта з автоматичним вибором кроку. Способи оцінки погрішності і збіжності методу Рунге-кутти четвертого порядку з автоматичним вибором довжини кроку. контрольная работа [31,0 K], добавлен 18.01.2013
Розвиток виробництва і широке використання промислових роботів. Алгоритми методів, блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння. Аналіз результатів моделювання, прямий метод Ейлера, розв’язок диференціального рівняння в Mathcad. контрольная работа [59,1 K], добавлен 30.11.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Курсовая работа по теме Классификация видов восприятия
Дипломная работа по теме Особенности российского бюджетного федерализма
Курсовая работа по теме Расчет химического реактора
Контрольная работа по теме Государственная Дума Российской Федерации. Правовое регулирование наследования. Схема 'Механизм государства'
Отчет по практике по теме Организация деятельности Центра довузовской подготовки, профориентации и абитуриентского резерва ГОУ ВПО 'Донской государственный технический университет'
Курсовая работа: Незаконное приобретение, хранение, перевоз, изготовление, переработка наркотических средств, психотропных веществ или их аналогов
Реферат: Оптимальная комбинация ресурсов
Язык Жестов Реферат
Курсовая работа: Заключение договора на торгах и аукционах
Сочинение по теме Родина и революция в лирике С. А. Есенина
4 Класс Математика Тетрадь Для Контрольных Работ
Реферат по теме История появления витаминов
Сочинение На Тему Жадность Всякому Горю Начало
Сетевые Методы В Экономическом Анализе Курсовая
Реферат По Физкультуре На Тему Гимнастика Картинки
Реферат по теме Інформаційне забезпечення наукових досліджень
Напишите Сочинение Миниатюру Дом И Жилище
Проект "Глобалстар". Геодезические спутники (ERS-1,ERS-2)
Дипломная работа по теме Методы и приемы психологического консультирования на "Телефоне доверия" и социально-психол...
Контрольная работа: Фонетика и слогоделение
Особенности правового регулирования отношений в сфере труда отдельных категорий работников - Государство и право контрольная работа
Особенности психолого-педагогической диагностики детей младшего школьного возраста с нарушенным сухом в условиях бюро медико-социальной экспертизы - Педагогика курсовая работа
Социально-экономические и политические причины Греко-персидских войн по данным первоисточников и современных авторов - История и исторические личности презентация