Rodando Rodando
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Rodando Rodando
22 mayo, 2016 17 agosto, 2014 por Amadeo Artacho
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Te propongo que imagines una circunferencia…
Ahora vamos a fijarnos en un punto de esa circunferencia…
Metámosla dentro de otra circunferencia de radio mayor, por ejemplo el doble…
¿Qué podemos hacer ahora? vamos a hacer rodar la circunferencia más pequeña dentro de la circunferencia grande y a fijarnos en el recorrido del punto de la pequeña…
¡Vaya! ¡Hemos obtenido un segmento de recta!
Cuando menos es curioso, aunque no parece gran cosa. De hecho, muchas y muchos pensarán que para eso hubiese bastado con unir dos puntos.
Bueno, vamos a hacer otra cosa… probemos con una circunferencia que tenga un radio tres veces mayor que la circunfencia interior rodante…
Antes de seguir, comentemos qué tipo de curvas son las que hemos obtenido. A la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz (nuestra circunferencia pequeña) que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz (nuestra circunferencia grande) se la denomina curva hipocicloide .
En el primer caso, al utilizar una circunferencia directriz de radio el doble que la generatriz, hemos obtenido una hipocicloide de dos puntas (nuestro segmento de recta), que se conoce como Tusi Couple . En el segundo caso, empleando una circunferencia directriz de radio el triple que la generatriz, hemos conseguido una hipocicloide de tres puntas, conocida como deltoide , porque se asemeja a la letra griega Δ (delta).
Así, ocurre que la hipocicloide con n puntas es la curva trazada por un punto de un a cír cunferencia “rodante” dentro de un a círc unferencia cuyo radio es n veces más grande.
Bueno, ahora que sabemos esto, vamos a dibujar, por ejemplo, una hipocicloide de 4 puntas. Utilizamos una circunferencia directriz de radio cuatro veces el radio de la circunferencia generatriz y…
¡Voilá! ¿A qué se parece la curva obtenida? Sí… a una estrella. De hecho, a la hipocicloide de cuatro puntas se la conoce como astroide ( nombre moderno que proviene de “estrella» en griego).
Y así, utilizando este método que hemos visto, podríamos seguir dibujando curvas hipocicloides con cada vez más puntas.
Como poco, es curiosa la forma de obtener estas curvas. Pero, más curioso aún es lo que se puede hacer con ellas.
Como esto de dibujar hipocicloides ya lo tenemos controlado, y ya empieza a dejar de ser tan creativo, vamos a meter, por ejemplo, una deltoide dentro de un a astroid e, y ver qué pasa si la echamos a rodar…
¡Vaya! ¡S e ajusta n perféctamente! y las tres puntas de la deltoide tocan a la astroid e ¡ en todo momento!. Parece que están hechas la una para la otra.
Y puestos ya… ¿y si probamos a meter una astroide en una hipocicloide de 5 puntas? ¿ocurrirá lo mismo? Veámoslo:
¡Pues sí! Parece que ésto funciona.
¿Y si aumentamos el número de puntas de las hipocicloides? ¿seguirá ocurriendo?
Pues resulta que, e n general, una hipocicloide con n puntas se mueve cómodamente dentro de una hipocicloide con n + 1 puntas .
Entonces, con todo esto que hemos visto…
¿por qué no tener una hipocicloide con 2 puntas (la Tusi couple que vimos) moviéndose dentro de una con 3 puntas ( deltoide ) …
… a su vez rodando dentro de una con 4 puntas (astroide)…
… y a su vez esta última moviéndose dentro de una hipocicloide de 5 puntas …
… y la de 5 puntas rodando den
tro de una de 6 puntas…?
Además, dependiendo de los detalles, podemos obtener diferentes patrones:
yo quiero ver qué pasa si llegamos hasta 10 puntas…
Hay momentos que parece una telaraña en movimiento y, lo mejor, si os fijáis bien, llegan a coincidir todas las hipocicloides en una de sus puntas.
No ha estado mal, habíamos empezado por un segmento de recta y hemos acabado… ¡rodando, rodando!
Apolonio de Perge (Perge, c. 262 a. C.– Alejandría, c. 190 a. C.), fue un geómetra griego famoso por su obra "Sobre las secciones cónicas". Conocido como “El Gran geómetra” fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos. También se le atribuye la…
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Además, dos lados contiguos…
Aún estamos con la resaca de Cheryl y su problema (bueno, en realidad el problema era para los participantes de las últimas SASMO, Singapore and Asian Schools Math Olympiads) y ya está empezando a correr por las redes otro problema, aunque este tiene bastante más tiempo que el de Cheryl.…
No lo conocía. Me ha encantado. Las matemáticas están presentes en cualquier aspecto de nuestra vida. Gracia.
Ya lo creo que sí. Me alegra mucho que te haya gustado.
Gracias a ti por valorarlo.
Un saludo.
Poesia matemática, música insonora para mi cerebro, la danza de las curvas hipocicloides, hermoso trabajo señor Amadeo Artacho, en verdad he rodado al compás de la sinfonia de esta presentación y me he acercado aún más a la matemática. ¡Gracias!
¡Muchas gracias!
Me alegra mucho saber que gusta.
Un saludo.
Y con que software haces las animaciones. Esta excelente.
Gracias Gonzalo. Está hecho con GeoGebra.
Un saludo.
Me encanta. Fomentando la creatividad matemática y artística. Genial.
Ideal para proponer a los alumnos que lo hagan con geogebra (creo). Habrá que probar
Wowowoow me gusto, pero me creates una duda, que pasa si el segundo círculo no llega a ser el doble de tamaño del primero, que tipo de recta dará como resultado?
No da una recta. ¿nunca has usado un espirografo?
Me ha gustado mucho. Un trabajo magnífico.
Muchas gracias. Me alegra que te haya gustado.
UNA VEZ MÁS QUEDO MARAVILLADO CON ESAS DEMOSTRACIONES QUE NI SIQUIERA SABÍA QUE EXISTÍAN. GRACIAS POR ESTA INFORMACIÓN QUE BRINDAN!!
Gracias a ti por seguir el blog y comentar.
Un saludo.
Muchas gracias! Me alegra que te haya gustado. Un saludo.
Gracias por la presentacion de las hipocicloides. Gabriel
Gracias a ti Gabriel por echarle un vistazo. Un saludo.
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Rodando, rodando-- (Ala Delta - Serie roja, Band 9) Taschenbuch – 1. Oktober 2003
Spanisch Ausgabe
von
Marinella Terzi
(Autor),
Margarita Menéndez
(Illustrator)
4,6 von 5 Sternen
3 Sternebewertungen
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Popelín está cansada de ir de la mano de su madre a toda prisa, por eso se tira al suelo y se pone a llorar hasta que la sube al carro de la compra. En casa, intenta bailar como su hermana María, pero le sale muy mal. Tampoco le dejan comer sola por si se tira la comida encima. Un día baja con su hermana mayor para jugar al baloncesto y resulta desastroso. Sin embargo, cuando van todos al campo a pasar el día y comienza a rodar y a rodar ladera abajo, no hay duda: lo hace mejor que nadie.
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Herausgeber
:
Editorial Luis Vives (Edelvives); 2. Edition (1. Oktober 2003) Sprache
:
Spanisch Taschenbuch
:
48 Seiten ISBN-10
:
8426348572 ISBN-13
:
978-8426348579 Lesealter
:
3–6 Jahre Abmessungen
:
12.7 x 0.64 x 19.69 cm
4,6 von 5 Sternen
3 Sternebewertungen
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