Решить уравнение в виде дроби
Решить уравнение в виде дробиСкачать файл - Решить уравнение в виде дроби
Продолжаем разговор про решение уравнений. В этой статье мы подробно остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Сначала разберемся, уравнения какого вида называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробных рациональных уравнений, приведем примеры. Дальше получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров со всеми необходимыми пояснениями. В начале 8 класса на уроках алгебры начинается всестороннее изучение рациональных выражений. А вскоре, естественно, начинают встречаться уравнения, содержащие рациональные выражения в своих записях. Такие уравнения назвали рациональными. Сформулируем озвученную информацию в виде определения рациональных уравнений. Рациональные уравнения - это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями. Рациональными уравнениями называют уравнения, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой — нуль. Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания. Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Рациональное уравнение называют целым , если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями. Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным или дробным рациональным. Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную или переменную в знаменателе. Завершая этот пункт, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями. Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения: В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае — к решению алгебраического уравнения степени n. Для наглядности разберем решение примера. Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые действия с многочленами: Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения. Сначала проверяем корень 6 , подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения. На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения. В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители. При этом придерживаются следующего алгоритма: Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере. Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны. Они являются искомыми корнями исходного уравнения. Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной. В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения. Сведение данного целого рационального уравнения к алгебраическому уравнению является, мягко говоря, не очень хорошей идеей, так как в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней. Поэтому, придется поискать другой способ решения. Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения. Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения. Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p x и q x — целые рациональные выражения. А дальше мы покажем, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида. В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения. Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения. К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения: Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ. Три из этих уравнений линейные и одно — квадратное, их мы умеем решать. С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Найдите корни дробного рационального уравнения. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x , достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ. Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p x представлено каким-либо числом. При этом если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю; если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ. Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней. В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x , при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной. Осталось определить эту область допустимых значений. Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти. Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида. Также мы знаем, что можно любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь , тождественно равную этому выражению. Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения. Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида. Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения. Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробных рациональных уравнений: Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным пояснением хода решения, чтобы прояснить приведенный блок информации. Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению. На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби. Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение: Так мы приходим к уравнению. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Нам требуется решить дробно рациональное уравнение, пройдем все шаги алгоритма. Во-первых, переносим слагаемое из правой части в левую, получаем. Во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части: На четвертом шаге остается выяснить, не является ли найденный корень посторонним для исходного дробно рационального уравнения. При его подстановке в исходное уравнение получается выражение. Очевидно, оно не имеет смысла, так как содержит деление на нуль. Откуда заключаем, что 0 является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней. В заключение добавим, что совсем не обязательно слепо придерживаться приведенного алгоритма решения дробных рациональных уравнений, хотя он и является универсальным. Просто иногда другие равносильные преобразования уравнений позволяют прийти к результату быстрее и проще. Сначала отнять от обеих частей уравнения 7 , что приводит к уравнению. Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно числу, обратному числу из правой части, то есть,. Теперь вычитаем из обеих частей тройки: По аналогии , откуда , и дальше. Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробного рационального уравнения. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Что такое рациональные уравнения? Решение дробно рациональных уравнений. Решите дробное рациональное уравнение. Его корень очевиден — это нуль. Но можно поступить и иначе, например, так.
Решение целых и дробно рациональных уравнений
Должностные инструкции инженер конструктор
Условные буквенные обозначенияв электрических схемах
Бесплатная помощь с домашними заданиями
Учебный план школыи планирование преподавания истории
Расписание электричек наро фоминск
Идеи для квартиры своими руками фото
Как решать уравнения с дробями
Повышенный шум при работе двигателя причины
Таблица энергозатрат человека при различных видах деятельности