Решить матричное уравнение методом гаусса

Решить матричное уравнение методом гаусса

Решить матричное уравнение методом гаусса

Решение СЛАУ методом Гаусса



=== Скачать файл ===



















Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

У Вас есть замечания, вопросы по изложенному материалу, или же Вы просто хотите оставить свой отзыв? В конце каждой статьи доступны комментарии. Также Ваши пожелания и предложения можно отправлять на почту, ICQ или аккаунт VK. Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ: Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных. Теоретические основы метода Гаусса изложены, например, в книге А. Здесь же мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ. Насчет последних двух пунктов: Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть здесь. Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово. Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой формализированный метод сложения. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:. Сокращённо деление обеих частей второго уравнения на -7 записывают так: При этом система примет вид:. Первое уравнение станет таким:. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:. Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Запишем расширенную матрицу данной системы: Напомню, что слева от черты расположена матрица системы: Для самой системы это означает, что первое и третье уравнение поменяли местами: Вообще, менять местами строки расширенной матрицы системы можно на любом этапе решения методом Гаусса. При необходимости можно менять местами столбцы матрицы системы, однако нужно помнить, что при этом меняется порядок расположения переменных в уравнениях. Например, если мы меняем местами пятый и седьмой столбцы матрицы системы, это означает, что пятая и седьмая переменные вместе со своими коэффициентами поменялись местами во всех уравнениях заданной СЛАУ. Итак, расширенная матрица системы стала такой: Метод Гаусса работает в два этапа: В предыдущем примере внимание на этом не акцентировалось, ибо пример был тривиальным, но во всех остальных примерах каждый этап будет рассмотрен пошагово. Прямой ход метода Гаусса имеет своей целью приведение матрицы системы к верхнему треугольному или ступенчатому виду. Есть ли решения у системы система совместна или же решений нет система несовместна выяснится именно здесь, в конце прямого хода метода Гаусса. Вновь обратимся к расширенной матрице системы: Для матричной формы записи это означает обнуление элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Эти элементы выделены на рисунке серым цветом. А элемент, который будем использовать для обнуления, выделен красным цветом:. Мы станем изменять строки расширенной матрицы системы. Действия, которые мы осуществим с второй и третьей строками, показаны на рисунке:. Итак, нам нужны выполнить два преобразования со строками: Если выполнение подобных операций в уме затруднительно а поначалу именно так и бывает , то выпишите изменяемые строки отдельно. Требуемые преобразования строк осуществлены, осталось лишь записать их в новую матрицу. Первую строку мы не трогали, поэтому её перепишем без изменений:. Итак, на первом шаге прямого хода мы обнулили элементы первого столбца расположенные под первой строкой , используя первую строку. На втором шаге прямого хода нужно обнулить элементы второго столбца расположенные под второй строкой , используя вторую строку. А использовать для обнуления будем элемент, выделенный красным. Преобразование, которое нужно выполнить, аналогично тому, что выполнялось на первом шаге:. Тогда вместо третьей строки получим:. При этом расширенная матрица системы станет такой: Это путь классического метода Гаусса, и если бы коэффициенты системы не были целыми числами, мы пошли бы именно этим путём. Однако коэффициенты нашей системы — целые числа, поэтому переход к дробям можно отложить или вообще избежать работы с дробями. Расширенная матрица системы станет такой: Отмечу, что во всех учебных задачах коэффициенты систем целочисленны, поэтому в примерах на данной странице мы будем выбирать второй путь, ибо он позволяет избежать действий с дробями. Прямой ход метода Гаусса закончен. Матрица системы матрица слева от разделительной черты стала верхней треугольной все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Исходя из результатов прямого хода метода Гаусса имеем: Найдём это решение, используя обратный ход метода Гаусса. Замечу, что некоторые авторы комбинируют способы записи метода Гаусса, осуществляя прямой ход в форме матричной записи, а обратный ход — записывая уравнения. Мне эта комбинация разных форм записи представляется бессмыслицей, ибо матричная форма записи вполне удобна и наглядна. Первый шаг обратного хода метода Гаусса окончен. Если пропустить все пояснения, то решение будет записано так:. Что делать, если нужный для обнуления элемент сам равен нулю? Теперь нужно обнулять элементы второго столбца расположенные под второй строкой , используя вторую строку. Но второй элемент второй строки равен нулю! Как же её использовать? Ответ тут довольно прост. Вам мешает ноль во второй строке? Первую строку трогать нельзя, ибо её уже использовали на первом шаге. Поменяем местами, например, вторую и третью. Тогда матрица станет такой:. Для более полного освоения метода можете попробовать найти решение подобной СЛАУ самостоятельно. Если не менять местами строки или столбцы, то решение будет таким:. Если же поменять местами первый и второй столбцы матрицы системы чтобы первым элементом первой строки стала единица , то решение будет таким:. Доказать, что заданная СЛАУ имеет единственное решение и найти его методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы: Обнуляем элементы первого столбца под первой строкой , используя первую строку. Первым элементом четвертой строки уже является ноль, поэтому четвертую строку изменять не будем. Заметьте, что третья и пятая строки одинаковы то есть соответствующие элементы этих строк равны. Вычеркнем одну из них. Например, убирая пятую строку, получим:. Напомню, что удалять повторяющиеся строки оставляя одну из них , а также вычеркивать нулевые строки можно на любом шаге метода Гаусса. Если бы мы сейчас не заметили повтор строки, то впоследствии эта строка стала бы нулевой. Обнуляем элементы второго столбца под второй строкой , используя вторую строку. Следуя классическому методу Гаусса нам пришлось бы выполнить такие преобразования: Однако чтобы избежать работу с дробями, выполним иные преобразования: В любом случае мы добъёмся цели: Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли , такая система имеет единственное решение то есть является определённой. Найдем это решение с помощью обратного хода метода Гаусса. Решение данной системы таково: Итак, ранг матрицы системы равен двум. Этот же вывод можно получить, записав третью строку полученной матрицы в виде уравнения: Полученное противоречие указывает на отсутствие решений. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса. Расширенная матрица системы имеет вид: Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: Можем их убрать, как в предыдущих примерах, однако данное действие не является обязательным. Если не убрать повторяющиеся строки, то получим нулевые строки в конце прямого хода метода Гаусса. Чтобы это продемонстрировать, я не стану убирать повторяющиеся строки и продолжу решение. Мы привели расширенную матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трем, ранг матрицы системы также равен трем. Подробно о решении таких систем можно почитать в теме 'Общее и базисное решения СЛАУ'. Очень советую в упомянутой теме хотя бы бегло глянуть на картинки с 'ступеньками', — тогда вам будет ясен способ выбора базисных переменных, который будет использован далее. Убирая нулевые строки, получаем такую матрицу: Затем нужно выразить одни переменные через другие, получив общее решение данной СЛАУ. Мне кажется более удобным продолжить решение в матричной форме записи. У нас есть три независимых уравнения, содержащие пять неизвестных. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли , данная система является неопределённой то есть имеет бесконечное количество решений. Этот пример я поместил с одной целью: При этом смена мест строк ничего не даёт, ибо все элементы обрабатываемого столбца, расположенные ниже, тоже равны нулю. Начнём решение системы и обнулим соответствующие элементы первого столбца, используя первую строку:. И менять местами строки бессмысленно, ибо первую строку трогать нельзя мы уже её использовали на первом шаге , а все остальные строки тоже начинаются с двух нулей. В этой ситуации нет ничего страшного. Просто переходите к следующему столбцу и всё. Перед тем, как это делать, желательно поменять местами вторую и четвёртую строки, ибо с единицей будет попроще работать:. Прямой ход метода Гаусса завершён. Нулевую строку убираем и приступаем к выполнению обратного хода метода Гаусса:. Теперь можно записать ответ: Главная Онлайн-обучение Высшая математика Цены на занятия Блог Форум. Тогда матрица станет такой: Комментарии можно оставлять посредством ВКонтакте или без аккаунта ВК.

Метод Гаусса

Найдите целое значение х

Где можно отдохнутьна юге россии

План тижня правових знань

Неустойка понятие виды особенности взыскания

Как определить есть ли давление без прибора

Как сделать содержание в реферате в ворде

Списки зачисленных абитуриентов 2016 в ивгу

Как помочь приобрести подростку уверенность в себе

Кресла екатеринбург каталог

Почта россии инструкция по учету денежных средств

Report Page