Решение задачи о коммивояжере - Экономико-математическое моделирование курсовая работа

Программирование на Microsoft Visual C++ 6.0 для профессионалов. Составление алгоритма и решение задачи о посещении комивояжером городов с минимальными затратами времени. Железнодорожные перевозки, расчет авиационных линий, конвейерное производство.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Задача о коммивояжере состоит в том, чтобы объехать заданные города по одному разу в таком порядке, чтобы пройденное расстояние было минимальным.
Такая задача актуальна во многих областях, таких как автомобильные, судовые и железнодорожные перевозки, расчет авиационных линий, конвейерное производство.
Задача состоит в том, чтобы коммивояжер (торговец) обошел все намеченные города единожды и в таком порядке, чтобы его путь был наименьшим.
Эта задача заинтересовала меня потому, что её решение интересно с точки зрения программирования и составления алгоритма. Важно нахождение такого алгоритма, который позволит наиболее оптимально решить задачу.
Сейчас решение данной задачи необходимо во многих областях связанных с замкнутыми и при этом жестко связанными по времени системами, такими как: конвейерное производство, многооперационные обрабатывающие комплексы, судовые и железнодорожные погрузочные системы, перевозки грузов по замкнутому маршруту, расчет авиационных линий.
Поэтому данная проблема на современном этапе развития общества имеет не самое последнее по значимости место.
Имеется N городов, которые должен обойти коммивояжер с минимальными затратами. При этом на его маршрут накладывается два ограничения:
маршрут должен быть замкнутым, то есть коммивояжер должен вернуться в тот город, из которого он начал движение;
в каждом из городов коммивояжер должен побывать точно один раз, то есть надо обязательно обойти все города, при этом не побывав ни в одном городе дважды.
Для расчета затрат существует матрица условий, содержащая затраты на переход из каждого города в каждый, при этом считается, что можно перейти из любого города в любой, кроме того же самого (в матрице диагональ заполнена нулями). Целью решения является нахождения маршрута, удовлетворяющего всем условиям и при этом имеющего минимальную сумму затрат.
Для начала следует сказать, что в основе любого метода решения данной задачи лежит полный перебор всевозможных вариантов путей. [2] Мы проходимся по каждому маршруту: одни отбрасываем, другие сравниваем с минимальным путем. В конце перебора мы получаем кратчайший путь.
Особенностью этой задачи является то, что с увеличением количества городов растет общее число различных комбинаций прохождения пути. А вместе с тем растет и время расчета результата. Поэтому главным решением оптимизации алгоритма можно свести к тому, чтобы во время вычислений отбрасывать заведомо не минимальные пути. Необходимо задать такой критерий, который отсекал бы лишние ветви в дереве поиска кратчайшего пути.
Для пояснения моего варианта решения задачи следует ввести несколько понятий. Промежуточную длину пути можно определить следующим образом: представим, что торговец выбрал какой-либо путь; он вышел из первого города и сейчас находится в каком-то городе i . Тогда все пройденное расстояние из начала в город i будем называть промежуточная длина пути. Если исходить из того, что торговец в каждый момент времени будет находиться в каком-то i -ом городе, то всегда можно подсчитать какое расстояние он прошел из начала до этого города, то есть промежуточную длину пути.
Минимальным путем будем называть маршрут, проходящий по всем городам и имеющий минимальную длину.
Мой критерий строится на одном простом утверждении: если промежуточная длина пути больше минимального пути, тогда очевидно следующее:
1. промежуточная длина будет расти, когда торговец будет двигаться к конечному городу,
2. а значит длина всего пути будет больше длины минимального маршрута.
следовательно такой маршрут можно отбросить.
В данной программе используется следующий критерий: при переходе от одного города к другому рассчитывается промежуточная длина пути, и если она больше текущего минимального пути, то вычисления по данной ветви прекращаются. Таким образом, отсекаются лишние ветви.
Решение данной задачи приводит к перебору возможных вариантов пути, но критерии такого рода могут значительно сократить вычисление и уменьшить время работы программы.
Для написания программы был выбран язык Си++ по следующим причинам:
1. Среда программирования Windows-приложений Microsoft Visual C++ 6.0 позволяет в моей задаче наглядно отобразить карту городов и схему их соединения.
2. Это один из языков, в котором я неплохо разбираюсь. Поэтому мне удобнее писать программу с помощью Visual C++.
В программе содержится рекурсивная функция, которая обеспечивает перебор возможных путей для поиска самого короткого. Именно здесь заключен алгоритм решения задачи «коммивояжера». Рассмотрим его подробнее:
1. Для каждого города ( i = от 1 до n ), где мы еще не были.
2. Допустим, что мы пришли в какой-то город i . Помечаем его, что мы здесь уже были.
3. Подсчитываем длину пройденного пути.
4. Если она больше чем длина минимального пути,
4.1. Тогда нет смысла идти по этому пути дальше.
4.1.1. помечаем город как не посещенный, выходим из города.
4.2.1.1. тогда , сравниваем с минимальным путем, если он меньше кратчайшего пути, тогда минимальный путь = кратчайший путь.
4.2.1.2. иначе переходим к пункту 1.
5. Переходим к следующему городу, где мы не были.
Следует рассмотреть один из основных моментов алгоритма, связанных с перебором маршрутов. Из рисунка №2 можно проследить порядок формирования путей и рассмотреть на конкретном примере, как работает алгоритм. Здесь приведен пример для 4 городов. Остановимся на рисунке по подробнее.
А) Мы начинаем путь из пункта 1. В нашем маршруте записан первый город. Рассматриваем те города, где мы не были: это 2, 3 и 4. Сначала переходим во второй.
Б) Добавляем к маршруту 2 город. Смотрим, можно ли куда-то перейти из второго города. Можно посетить третий и четвертый. Мы выбираем третий город.
В) Ставим на третье место в нашем маршруте город 3. Далее мы смотрим, куда можно отправиться - в пункт 4.
Г) На четвертое место в маршруте ставим город 4. Здесь мы видим, что в нашем маршруте заполнены все четыре места и значит наш путь закончен. Сравниваем длину нашего пути с минимальным. Затем мы выходим назад из пункта 4 в пункт 3 и в маршруте перемещаемся на третье место. Смотрим, что в городе 3 мы были, тогда берем следующий не посещенный город - четвертый.
Д) Ставим на третье место маршрута четвертый город. Из четвертого пункта можно посетить только третий.
Е) Пришли в третий пункт. Ставим на четвертое место маршрута город 3. Видим, что все четыре места в нашем пути заполнены и значит путь закончен. Сравниваем длину нашего пути с минимальным. Выходим назад - из пункта 3 в пункт 4 и в маршруте перемещаемся на третье место. Видим что здесь тоже нет не посещенных городов. Опять переходим на уровень вверх: из пункта 4 в пункт2 и в маршруте перемещаемся на второе место. В пункте 2 мы были, но остались не посещенными города 3 и 4. Переходим в третий. На второе место в маршруте записываем третий город.
Ж) Отсюда можно попасть во второй и четвертый. Переходим во второй. На третье место в маршруте ставим второй город. И так далее.
Из приведенного примера уже можно выделить, как алгоритм перебирает пути. Он действует по следующей схеме:
0. Начальное значение j = 1 (первое место в маршруте).
2. Для каждого города (i = от 1 до n)
4.1. тогда переходим в город i; j увеличиваем на единицу. Добавляем номер города в маршрут на место j. Помечаем город как посещенный. Переходим к пункту 1 (k = i).
4.2. иначе идти некуда, т.е. все города мы посетили.
4.2.1. если j = количеству городов (n), т.е мы добрались до последнего пункта в маршруте и наш путь сформирован, тогда сравниваем длину пути с длиной минимального маршрута.
4.2.2. Помечаем город как не посещенный и выходим из него. Уменьшаем j на единицу.
Теперь рассмотрим структуру приложения, опишем классы и процедуры, которые были изменены и наполнены кодом.
1. CAboutDlg связан со встроенным диалоговым окном «О программе».
2. CKurs _ LipinApp управляет запуском приложения и не связан с каким-либо диалоговым окном. [1]
3. CKurs _ LipinDlg связан с окном IDD _ KURS _ LIPIN _ DIALOG . Этот класс организует постановку и решение задачи.
4. CSetting связан с окном IDD _ DIALOG 1 . В окне вводятся параметры к задаче - расстояния между городами.
Класс CKurs _ LipinDlg . В начале при вызове функции OnInitDialog() переменные заполняются начальными данными. Затем из файла «table.ini» считывается таблица расстояний между городами. И теперь диалоговое окно готово к работе с пользователем. Функция OnPaint() выводит на экран карту, позволяет выделять города, выбранные пользователем, а также соединяет города линиями-путями, когда задача решена. Кроме того, обеспечивается вывод информации для пользователя: пояснения, длина минимального пути и список расстояний между городами, составляющие минимальный путь.
При нажатии левой кнопкой мыши вызывается функция OnLButtonDown(). Она определяет по какому городу щелкнул пользователь и ставит/снимает выделение с него. Также здесь осуществляется проверка на количество выделенных городов, т.к. время ожидания решения задачи для количества более 13 городов станет не удовлетворительным (от 1,5 минут и более). Поэтому программа выдаст сообщение, если мы попытаемся выйти за допустимые пределы.
Кнопка «Выбрать стандартные города» выделяет города, которые требуется соединить в условии задачи, а именно Москва, Ярославль, Нижний Новгород, Самара, Саратов, Волгоград, Воронеж, Пенза, Липецк, Тамбов, Орел, Курск, Тула. Кнопка «Очистить» снимает выделение со всех городов и задает начальные значения ряду необходимых переменных.
Функция OnButton3() связана с кнопкой «Задать пункт отправления». После нажатия кнопки пользователь может щелчком мыши выбрать пункт отправления коммивояжера. Кнопка «Параметры» вызывает диалоговое окно «Параметры», где пользователь может редактировать таблицу расстояний между городами. Функция OnOK() обрабатывает нажатие кнопки «Рассчитать путь». Она подготавливает начальные значения для вызова рекурсивной функции: создается таблица расстояний только для выделенных городов, заполняется первоначальный минимальный путь, выводится поясняющая информация. Затем вызывается функция recursiv() , которая перебирает варианты маршрутов, отсекает лишние ветви путей и находит минимальный.
Функция OnInitDialog() программным путем создает и выводит поля ввода, имитируя таблицу расстояний между городами. Затем считывается файл « table . ini », и заполняются поля ввода полученными значениями. Вызывается функция Proverka() , которая сканирует полученные данные на ошибки, т.е. определяет введены ли только цифры, и если нет, тогда удаляет все лишние символы.
По нажатию кнопки «Сохранить» программа передает данные в родительское окно, записывает данные из полей ввода в файл и закрывает диалоговое окно.
При загрузке приложения появляется основное диалоговое окно. Здесь пользователь может выбрать несколько городов и рассчитать для них минимальный путь.
Чтобы отменить выделение городов нужно щелкнуть по кнопке «Очистить». Нажав кнопку «Рассчитать путь», мы получим результат: города соединены минимальным путем, его длина дана в окне информации, в списке показаны расстояния между городами, входящими в полученный путь. Кнопка «Выбрать стандартные города» выделяет города, требуемые в задании.
Чтобы выделить пункт отправления коммивояжера нужно выбрать «Задать пункт отправления».
Кнопка «Параметры» вызывает диалоговое окно для ввода расстояний между городами (рис. 5). Это окно является модальным и его особенностью является то, что нет возможности перехода к родительскому окну.
Здесь пользователь может отредактировать расстояния между городами. Для этого нужно щелкнуть в поле ввода, и ввести другое значение. Перемещаться по этой «таблице» можно по строкам при помощи клавиш Tab или Shift+Tab.
По завершении ввода нужно нажать кнопку «Сохранить», чтобы программа записала измененные данные в файл. При этом автоматически проверится правильность введенный информации и все ошибки будут исправлены.
Кнопка «Отмена» позволяет не сохранять введенные изменения, если пользователь ошибся во введенной информации.
По нажатии любой из кнопок диалоговое окно «Параметры» закрывается и мы возвращаемся к главному окну .
Если в строке заголовка главного окна щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать пункт «О программе», то появится диалоговое окно, содержащее сведения о программе и об авторе (рис. 6). Нажав кнопку «OK» возвращаемся к главному окну.
Был разработан алгоритм, позволяющий быстро найти кратчайший путь между городами. По алгоритму разработано приложение, решающее задачу о коммивояжере.
1. Круглински Д., Программирование на Microsoft Visual C++ 6.0 для профессионалов/Пер.с англ. -СПб:Питер; 2004г. - 861 с.: ил.
2. Беляев С.П. Курс лекций по «Исследованию операций».
// Kurs _ LipinDlg . h : header file
#if !defined(AFX_KURS_LIPINDLG_H__FFEC63D9_17E7_4E43_805B_75F68CE9E55F__INCLUDED_)
#define AFX_KURS_LIPINDLG_H__FFEC63D9_17E7_4E43_805B_75F68CE9E55F__INCLUDED_
class CKurs_LipinDlg : public CDialog
CKurs_LipinDlg(CWnd* pParent = NULL);// standard constructor
void CKurs_LipinDlg::recursiv (bool flag[],unsigned int cur_path[],int j);
enum { IDD = IDD_KURS_LIPIN_DIALOG };
// ClassWizard generated virtual function overrides
virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX);// DDX/DDV support
afx_msg void OnSysCommand(UINT nID, LPARAM lParam);
afx_msg void OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point);
// Microsoft Visual C++ will insert additional declarations immediately before the previous line.
#endif // !defined(AFX_KURS_LIPINDLG_H__FFEC63D9_17E7_4E43_805B_75F68CE9E55F__INCLUDED_)
// Kurs_LipinDlg.cpp : implementation file
static char THIS_FILE[] = __FILE__;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// CAboutDlg dialog used for App About
// ClassWizard generated virtual function overrides
virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support
CAboutDlg::CAboutDlg() : CDialog(CAboutDlg::IDD)
void CAboutDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX)
BEGIN_MESSAGE_MAP(CAboutDlg, CDialog)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
CKurs_LipinDlg::CKurs_LipinDlg(CWnd* pParent /*=NULL*/)
: CDialog(CKurs_LipinDlg::IDD, pParent)
// Note that LoadIcon does not require a subsequent DestroyIcon in Win32
m_hIcon = AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME);
void CKurs_LipinDlg::DoDataExchange(CDataExchange* pDX)
DDX_Control(pDX, IDC_LIST1, m_list1);
DDX_Control(pDX, IDC_STATIC1, m_label);
BEGIN_MESSAGE_MAP(CKurs_LipinDlg, CDialog)
ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON2, OnButton2)
ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON1, OnButton1)
ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON3, OnButton3)
ON_BN_CLICKED(IDC_BUTTON4, OnButton4)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
BOOL CKurs_LipinDlg::OnInitDialog()
// Add "About..." menu item to system menu.
// IDM_ABOUTBOX must be in the system command range.
ASSERT((IDM_ABOUTBOX & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX);
CMenu* pSysMenu = GetSystemMenu(FALSE);
strAboutMenu.LoadString(IDS_ABOUTBOX);
pSysMenu->AppendMenu(MF_SEPARATOR);
pSysMenu->AppendMenu(MF_STRING, IDM_ABOUTBOX, strAboutMenu);
// Set the icon for this dialog. The framework does this automatically
// when the application's main window is not a dialog
SetIcon(m_hIcon, TRUE);// Set big icon
SetIcon(m_hIcon, FALSE);// Set small icon
x0=10;y0=10;// смещение карты относительно левого верхнего угла окна
koord[0][0]=x0+225;// Санкт-Петербург
koord[19][0]=x0+276;//Нижний Новгород
myFont.CreateFont(17,0,0,0,500,false,false,false,0,0,0,0,0,"Courier Cyr");
m_len="Выберите несколько городов.";
f1.Open("table.ini",CFile::modeRead);
tableAllCity[j][i]=tableAllCity[i][j]=atoi(s2);
return TRUE; // return TRUE unless you set the focus to a control
void CKurs_LipinDlg::OnSysCommand(UINT nID, LPARAM lParam)
if ((nID & 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX)
CDialog::OnSysCommand(nID, lParam);
// If you add a minimize button to your dialog, you will need the code below
// to draw the icon. For MFC applications using the document/view model,
// this is automatically done for you by the framework.
CPaintDC dc(this); // device context for painting
SendMessage(WM_ICONERASEBKGND, (WPARAM) dc.GetSafeHdc(), 0);
int cxIcon = GetSystemMetrics(SM_CXICON);
int cyIcon = GetSystemMetrics(SM_CYICON);
int x = (rect.Width() - cxIcon + 1) / 2;
int y = (rect.Height() - cyIcon + 1) / 2;
temp.SelectStockObject (BLACK_BRUSH);
int x1 = koord[sel_city[min_path[i]-1]][0];
int x2 = koord[sel_city[min_path[i+1]-1]][0];
int y1 = koord[sel_city[min_path[i]-1]][1];
int y2 = koord[sel_city[min_path[i+1]-1]][1];
s1=name_city[sel_city[min_path[i]-1]];
s1+=" - "+name_city[sel_city[min_path[i+1]-1]];
s2.Format("%d",table[min_path[i]-1][min_path[i+1]-1]);
m_len.Format("Длина пути:\n%d км",min_path[n+1]);
m_len="Выберите несколько городов.";
pDC.BitBlt(x0,y0,638,638,&temp,0,0,SRCCOPY);
// The system calls this to obtain the cursor to display while the user drags
HCURSOR CKurs_LipinDlg::OnQueryDragIcon()
void CKurs_LipinDlg::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)
int x=point.x-koord[i][0],y=point.y-koord[i][1];
if (count_selected >= 13 && flag_select[i]==false)
MessageBox ("Нельзя выбрать более 13 городов !!!\nВыберите выделенный город или снимите выделение \nс одного города и поставьте на другом.");
if (flag_select[i]==false) count_selected++;
if (count_selected >= 13 && flag_select[i]==false)
MessageBox ("Нельзя выбрать более 13 городов !!!");
if (flag_select[i]==false) count_selected++;
CDialog::OnLButtonDown(nFlags, point);
MessageBox ("Пожалуйста, выберите не менее 2 городов.");
if (flag_select[i]) sel_city[count++] = i;
for (i=0; i < n; i++)// ставим исходный город на первое место в массиве
table[i][j]=table[j][i]=tableAllCity[sel_city[i]][sel_city[j]];
bool *flag = new bool[n]; // заполнение признаков посещения городов
for (i=1; i < n; i++) flag[i]=false;
unsigned int *cur_path = new unsigned int[n+2];
// заполнение матриц минимального пути и текущего пути
min_path[0] = min_path[n]=1; min_path[n+1]=0;
min_path[i]=i+1; min_path[n+1]+=table[i-1][i];
} min_path[n+1] += table [min_path[n-1]-1] [min_path[n]-1 ];
m_len="Пожалуйста, подождите:\nидут вычисления...";
recursiv (flag,cur_path, 1); // вызов рекурсивной функции*/
void CKurs_LipinDlg::recursiv (bool flag[],unsigned int cur_path[],int j)
for (int i = 0; i < n; i++) // для каждой точки
if (flag[i] == false) // где мы еще не были
flag[i] = true; // переходим в нее,
cur_path[j] = i+1; // вычисляя длину пройденного пути
cur_path[n+1] += table [cur_path[j-1]-1] [cur_path[j]-1];
// *** если длина текущего пути меньше минимальной ***
// рассматриваем новую точку, если она не конечная
if (j < n-1) recursiv (flag, cur_path, j+1);
{ // или вычисляем длинув сего пути и ...
cur_path[n+1] += table [cur_path[n-1]-1] [cur_path[n]-1];
cur_path[n+1] -= table [cur_path[n-1]-1] [cur_path[n]-1];
cur_path[n+1] -= table [cur_path[j-1]-1] [cur_path[j]-1];
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
CSetting(CKurs_LipinDlg* pParent); // standard constructor
// NOTE: the ClassWizard will add data members here
// ClassWizard generated virtual function overrides
virtual void DoDataExchange(CDataExchange* pDX); // DDX/DDV support
// Microsoft Visual C++ will insert additional declarations immediately before the previous line.
#endif // !defined(AFX_SETTING_H__23ABDE52_3A69_456A_A9DC_23A586A6699A__INCLUDED_)
// Setting.cpp : implementation file
static char THIS_FILE[] = __FILE__;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
CSetting::CSetting(CKurs_LipinDlg* pParent)
// NOTE: the ClassWizard will add member initialization here
void CSetting::DoDataExchange(CDataExchange* pDX)
// NOTE: the ClassWizard will add DDX and DDV calls here
BEGIN_MESSAGE_MAP(CSetting, CDialog)
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
myFont.CreateFont(11,0,0,0,0,false,false,false,0,0,0,0,0,"Courier Cyr");
int count=1, w=30,h=20,x0=45,y0=10;
t_edit[i][j].Create (WS_CHILD|WS_VISIBLE | WS_TABSTOP | WS_DLGFRAME|TA_LEFT,
CRect(j*w+x0-35,i*h+y0,(j+1)*w-1+x0,(i+1)*h-1+y0),this,100);
t_edit[i][j].SetWindowText(parent->name_city[i]);
t_edit[i][j].Create (WS_CHILD|WS_VISIBLE | WS_TABSTOP | WS_DLGFRAME,
CRect(j*w+x0,i*h+y0,(j+1)*w-1+x0,(i+1)*h-1+y0),this,100);//count++);
f1.Open("table.ini",CFile::modeRead);
return TRUE; // return TRUE unless you set the focus to a control
// EXCEPTION: OCX Property Pages should return FALSE
f1.Open("table.ini",CFile::modeCreate | CFile::modeWrite);
parent->tableAllCity[j][i]=parent->tableAllCity[i][j]=atoi(s2);
MessageBox("Введённые параметры проверены на ошибки и сохранены.");
for (int k=0; k < s1.GetLength(); k++)
if (s1[k]<'0' || s1[k]>'9') {s1.Delete(k,1);k--;}
Решение задачи линейного программирования графическим способом. Построение математической модели задачи с использованием симплекс-таблиц, её экономическая интерпретация. Поиск оптимального плана перевозки изделий, при котором расходы будут наименьшими. задача [579,8 K], добавлен 11.07.2010
Содержание методов аппроксимации Фогеля, потенциала, наименьшей стоимости и северо-западного угла как путей составления опорного плана транспортной задачи на распределение ресурсов с минимальными затратами. Ее решение при помощи электронных таблиц. курсовая работа [525,7 K], добавлен 23.11.2010
Определение наиболее выгодного суточного объема выпуска изделий, обеспечивающего максимум прибыли. Построение математической модели задачи, ее решение графическим методом и в среде MS Excel. Расчет диапазона дефицитности ресурсов и дрейфа оптимума. контрольная работа [994,1 K], добавлен 16.02.2013
Способ перевозки при котором затраты связанные с перевозкой минимальны. Распределительный метод достижения оптимального плана. Метод последовательного улучшения плана перевозок. Написание программы. Visual Basic for Applications. Описание алгоритма. курсовая работа [34,6 K], добавлен 20.11.2008
Математическая формулировка экономико-математической задачи. Вербальная постановка и разработка задачи о составлении графика персонала. Решение задачи о составлении графика персонала с помощью программы Microsoft Excel. Выработка управленческого решения. курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.01.2018
Математическая теория оптимального принятия решений. Табличный симплекс-метод. Составление и решение двойственной задачи линейного программирования. Математическая модель транспортной задачи. Анализ целесообразности производства продукции на предприятии. контрольная работа [467,8 K], добавлен 13.06.2012
Математическая постановка задачи и выбор алгоритма решения транспортной задачи. Проверка задачи на сбалансированность, её опорное решение и метод северо-западного угла. Транспортная задача по критерию времени, поиск и улучшение решения разгрузки. курсовая работа [64,7 K], добавлен 14.10.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Решение задачи о коммивояжере курсовая работа. Экономико-математическое моделирование.
Реферат по теме Отрицание и средства его выражения в английском языке
Курсовая работа: Учет краткосрочных кредитов займов
Контрольная работа по теме Порівняння поглядів та концепцій Г. Кана та А. Вінера на теорію зростання добробуту в економіці суспільства майбутнього
Курсовая работа: Анализ содержания тенденций развития института прав и свобод человека в России
Скачать Реферат На Культура Древней Индии
Оборудование Для Уборочно Моечных Работ Реферат Заключение
Реферат: Чан Кайши Цзян Цзеши
Святослав Не Есть Пример Государя Великого Эссе
Реферат На Тему Социологическое Исследование
Курсовая работа по теме Анализ обеспеченности основными производственными фондами, их состояния и эффективности использования
Цивилизационный Подход К Типологии Государства Реферат
Контроль В Управлении Контрольная Работа
Шпаргалка: Правомерность решений в практических ситуациях
Реферат: Планета людей 2
Реферат по теме Василий Яковлевич Ерошенко
Реферат: Перспективы использования энергии солнца и ветра
Дипломная работа по теме Фабрика в составе двух бумагоделательных машин производительностью 300 т/сут газетной бумаги марки В ГОСТ 6445-74
Курсовая работа по теме Технология выращивания индюшат-бройлеров
Динамика Валютного Курса Чешской Республики Курсовая Работа
Реферат: Организационная и производственная структура предприятия. Скачать бесплатно и без регистрации
Технология проблемного обучения на уроках в начальной школе - Педагогика курсовая работа
Артур Шопенгауэр. О ничтожестве и горестях жизни. Смерть и ее отношение к неразрушимости нашего существа - Философия реферат
Эволюция организаций. Индустриальная и информационная эпохи - Менеджмент и трудовые отношения презентация