Решение задачи 514

Условие:

На сторонах выпуклого четырёхугольника построены равносторонние треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр.

Решение:

Первым делом докажем, что в таком четырехугольнике угол между диагоналями равен 60 градусов (Рисунок 1). Из равенства треугольников BCE и ACD (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство углов FBC и FAC. Отсюда получаем, что четырехугольник ABCF вписанный, а значит равны и углы AFB=ACB=60°. Также отметим, что из равенства треугольников BCE и ACD следует равенство диагоналей BE=AD.

Проведем теперь серединные перпендикуляры к сторонам четырехугольника AE и BD, которые пересекутся в точке G (Рисунок 2). Заметим, что треугольники EBG и DAG равны по трем сторонам. Два синих и два красных отрезка равны друг другу, поскольку точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка. Также равны друг другу диагонали четырехугольника, как отмечалось ранее. Отсюда следует равенство углов FEG и FAG, что дает в свою очередь вписанность четырехугольника AFGE. В итоге получается, что угол AGE=AFE=120°. Таким образом, точка G лежит на серединном перпендикуляре к стороне AE, и сторона видна из этой точки под углом 120°, т.е. точка G является центром правильного треугольника, построенного на отрезке AE. Аналогично точка G является центром правильного треугольника, построенного на стороне BD.