Решение задачи 511

Условие:
Мастер задумал четыре различных двузначных натуральных числа, одно из которых равно сумме трех остальных. Зная этот факт, а также три задуманных числа, ни одна из четырех Маргарит не смогла назвать недостающее число (Маргаритам сообщались разные тройки чисел). Какие числа задумал мастер?

Решение:

Пусть какая-то Маргарита видит числа x < y < z. Тогда четвертое число может быть одним из двух: x + y + z или z - y - x (ни x, ни y не могут быть суммой остальных трех чисел). Она не может однозначно назвать четвертое число (выбрать из двух потенциальных), это значит, что оба потенциальных числа двузначные и не равны исходным трем числам.

Пусть мастер загадал числа a < b < c < d. Рассмотрим тройку b, c, d. Из вышесказанного следует, что b + c + d двузначное, то есть меньше 100. Рассмотрим тройку a, b, c. Из вышесказанного следует, что число c представимо в виде суммы трех различных двузначных чисел (два из которых -- a и b, а третье не равно ни a ни b).

Построим оценки для чисел. Понятно, что a ≥ 10, b ≥ 11. Из предыдущего рассуждения получаем, что c ≥ 10 + 11 + 12 = 33. Далее d = a + b + c ≥ 10 + 11 + 33 = 54. И b + c + d ≥ 11 + 33 + 54 = 98.

Если c будет хотя бы 34, то d будет хотя бы 55 и b + c + d будет не меньше ста, противоречие. К аналогичному противоречию придем, если предположить, что b ≥ 12. Значит, b = 11 и a = 10. Тогда получаем a = 10, b = 11, c = 33, d = 54.

Ответ: 10, 11, 33, 54.