Решение задачи 508

Условие:

Существует ли отображение из некоторого трёхмерного шара в некоторый плоский круг, для каждой пары точек не уменьшающее расстояние между ними?

Решение:

Без ограничения общности будем считать, что в трехмерный шар вписывается куб с ребром единичной длины. Разобьем каждое ребро на n равных частей и построим кубическую решетку, в которой (n + 1)³ узлов. Расстояние между двумя любыми узлами не менее 1/n. Рассмотрим образ этой решетки при отображении. Расстояние между двумя любыми точками из образа должно быть так же не меньше 1/n.

Пусть диаметр круга равен D. Впишем круг в квадрат и разобьем его стороны на m равных частей так, чтобы длина каждой части была меньше 1/(2n). То есть должно выполняться D/m < 1/(2n), можно взять m = [2Dn] + 1, где [arg] - целая часть. Тогда большой квадрат разобьется на m² квадратиков.

Диагональ каждого квадратика равна √2 * (1/2n) < 1/n. Значит никакие два узла кубической решетки после отображения не могут попасть в один квадратик. Найдется достаточно большее n, такое что (n + 1)³ > (2Dn + 1)² ≥ m². Получается, найдутся две точки в шаре, расстояние между которыми не меньше 1/n, а расстояние между их образами в круге меньше 1/n. Значит нужного отображения не существует.

Замечание: в некоторые квадратики узлы решетки теоретически попасть не могут, потому что есть квадратики, которые не пересекаются с кругом. То есть потенциальных квадратиков еще меньше m² и неравенство тем боле выполнено.

Решение на языке асимптотики: рассматриваем O(n³) точек в кубе, которые должны по одиночке уместиться в O(n²) областях в круге, противоречие.

Ответ: Нет.