Решение задачи 408

Условие:
В клетчатом квадрате 6×6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.

Решение:

Рассмотрим стороны маленьких квадратов (клеток), находящиеся внутри границы большого квадрата. Пусть изначально все эти стороны черные, будем красить их в красный цвет по следующему принципу. Пусть Саша закрасил какую-ту клетку. Покрасим все стороны, находящиеся между новой закрашенной клеткой и старыми закрашенными клетками, в красный цвет. Нетрудно видеть, что количество только что покрашенных сторон совпадает с числом, которое запишет Саша в закрашенную клетку. Пример:

Когда все клетки будут отмечены, то все стороны будут покрашены в красный цвет. Осталось заметить, что все стороны мы покрасим ровно один раз. Получается, сумма всех чисел, стоящих в клетках, равна количеству сторон, а их как раз 60.