Решение задачи 406

Условие:

Докажите, что (n+1)⋅...⋅2n делится на 2ⁿ, но не на 2ⁿ⁺¹.

Решение:

Докажем по индукции.

База. для n=1 двойка действительно делится на 2, но не делится на 4.

Переход. Допустим, нам известно, что (n+1)⋅...⋅2n делится на 2ⁿ, но не на 2ⁿ⁺¹. Рассмотрим аналогичное выражение для n+1: (n+2)⋅...⋅(2n+2). Поделим его на (n+1)⋅...⋅2n. Получим: (n+2)⋅...⋅(2n+2)/(n+1)⋅...⋅2n = (2n+1)⋅(2n+2)/(n+1) = 2⋅(2n+1). Это число четное, но не делится на 4. Это значит, что (n+2)⋅...⋅(2n+2) делится на 2ⁿ⁺¹, но не на 2ⁿ⁺².