Решение задачи 403

Условие:

Палиндром -- это такое натуральное число, которое читается слева направо также, как и справа налево. Докажите, что существует палиндром, кратный 2²⁰¹⁸.

Решение:

Допустим, что число 2²⁰¹⁸ записывается как a1 a2 ... an (это просто некоторая запись десятичного числа, где под буквой подразумевается некоторая цифра. Для определенности будем полагать, что число 2²⁰¹⁸ является n-значным). Поскольку 2²⁰¹⁸ < 10²⁰¹⁸, то n < 2018. Рассмотрим число x, которое записывается следующим образом:

an ... a2 a1 0 0 ... 0 a1 a2 ... an,

где нулей в середине этого числа ровно 2018-n.

Очевидно, оно является палиндромом.

Можно разбить такое число на два слагаемых:

x = an ... a2 a1 0 0 ... 0 ... 0 + a1 a2 ... an

Второе слагаемое, очевидно, делится на

2²⁰¹⁸, потому что это его десятичная запись. Первое слагаемое заканчивается на 2018 нулей по построению, значит оно кратно 10²⁰¹⁸, а следовательно кратно и 2²⁰¹⁸. Получается, что число x кратно 2²⁰¹⁸.