Решение задачи 400

Условие:

Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: на 1 квадратный дециметр в "обычном" случае, вдвое — если желание заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько — ещё всемеро, а ещё через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи? (Изначально площадь кожи выражается целым числом).

Решение:

Из первых двух условий следует, что площадь кожи делится на 21, а из третьего -- изначальная площадь не 0. За первые десять желаний кожа уменьшилась в 3 раза, значит среди них заветных желаний было не больше 1, так как площадь уменьшилась бы хотя бы в 4 раза. Покажем, что заветное желание ровно одно (среди первых 10). Действительно, пусть их не было, x -- начальная площадь кожи, тогда x−10=x/3 => x=15, что не кратно 21. Значит среди первых 10 желаний ровно одно заветное.

Пусть среди первых 10 желаний сначала было k обычных желаний, потом одно заветное, потом 10−k обычных (0≤k≤9). Тогда получаем уравнение (x -- изначальная площадь кожи ):

(x−k)/2−(10−k)=x/3 => 3x−3k+6k−60=2x => x=60−3k.

Вспоминаем, что x кратно 21 и k в промежутке от нуля до девяти. Получаем единственное решение k=6, x=42.

Ответ: 42.