Решение задачи 398

Условие:

Решите уравнения в целых числах: x³+2y³+4z³=0.

Решение:

Нетрудно видеть, что x³ делится на 2, значит x делится на 2. Представим x в виде x=2k, где k целое. Тогда уравнение примет такой вид: 8k³+2y³+4z³=0, что равносильно 4k³+y³+2z³=0. Теперь нетрудно видеть, что y³ делится на 2. Представляя y в виде y=2n (n целое), подставляя в уравнение, и сокращая на 2, получаем 2k³+4n³+z³=0. Поступая аналогично с z, (z=2m), получаем k³+2n³+4m³=0. Это уравнение имеет такой же вид, как и исходное. Значит можно повторить операцию с делением на 2 (бесконечное число раз). Получается, переменные x, y, z делятся сколько угодно раз на 2. Значит, (0,0,0) единственное решение.

Ответ: (0,0,0) единственное решение.