Решение задачи 396

Условие:

Разместите грузики массами 1, 2, ... , 8 граммов в вершинах куба так, чтобы центр их тяжести совпал с центром куба.

Решение:

Нетрудно видеть, что следующее условие является необходимым и достаточным: "Веса любых двух противоположных граней должны совпадать". Так как суммарный вес всех вершин равен 1+2+...+8=36, то вес каждой грани должен равняться 18. Рассмотрим две вершины, соединенные ребром. пусть их веса А и В. Это ребро содержится в двух смежных гранях АBCD и ABEF. Отсюда следует, что C+D=E+F=18−(A+B). С помощью этого наблюдения выясним, какие числа могут быть на одном ребре с единицей. Двойка не может быть, так как тогда помимо 1 и 2 должны быть две непересекающиеся пары чисел, такие что в каждой паре сумма равна 15. Но такая пара только одна: (7,8). Аналогичными рассуждениями получаем, что с единицей на одном ребре также не могут находиться числа 3 и 5. Значит с единицей на одном ребре находятся какие-то 3 числа из следующих возможных: 4, 6, 7, 8. Попробуем без четверки. Рисуем куб, одной вершине даем вес 1, соседним с ней даем веса 6, 7, 8. Причем в силу симметрии не важно где какой вес.

Дадим оставшимся вершинам веса, причем это произойдет однозначно.

Видим, что все получилось. Это и есть ответ.