Решение задачи 395

Условие:

Через середину биссектрисы угла B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная ей. Может ли эта прямая пересекать отрезок AC?

Решение:

Пусть дан треугольник АВС, проведена биссектриса BL, точка Е -- точка пересечения серединного перпендикуляра, проведенного к BL, со стороной АС, D -- середина BL.

Проведем BE. Так как точка Е лежит на серединном перпендикуляре к BL, то BE=EL. Используя неравенство треугольника, получаем, что AL=AE+EL=AE+BE>AB. Мы знаем, что AL/AB = LC/BC. Только что мы получили, что AL>AB, отсюда следует, что LC>BC. Из всего этого следует, что AC=AL+LC>AB+BC. Противоречие с неравенством треугольника.

Ответ: Не может.