Решение задачи 345

Условие:

На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?

Решение:

Первое число 7. Предположим, что второе число a. Тогда третье -- a/7. Четвертое -- 1/7. Пятое -- 1/a. Шестое -- 7/a. Седьмое -- 7. Далее понятно, что любое число, номер которого даёт остаток:

1 по модулю 6, это 7;

2 по модулю 6, это a;

3 по модулю 6, это a/7;

4 по модулю 6, это 1/7;

5 по модулю 6, это 1/a;

0 по модулю 6, это 7/a.

100 даёт остаток 4 по модулю 6. Поэтому последним будет записано число 1/7.

Ответ: 1/7.