Решение задачи 254

Условие:

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек — обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Решение:

Давайте сначала предположим, что исходные три точки не лежат на одной прямой, т.е. они образуют треугольник.

Тогда из соображения симметрии понятно, что треугольник BAC равен треугольнику CDB, откуда следует, что углы BAC и CDB равны. Значит точки B,A,D и C лежат на одной окружности. Эта окружность является описанной окружностью треугольника ABC.

Теперь нам становится понятно, что через каждую минуту новая точка должна будет появляться на описанной окружности исходного треугольника ABC. Значит, если изначальные три точки не лежали на одной прямой, то через каждую минуту никакие три точки не могут лежать на одной прямой, т.к. все они лежат на одной окружности. Отсюда делаем вывод, что если в какой-то момент нашлись 3 различные точки, лежащие на одной прямой, то и исходные 3 точки лежат на одной прямой.

Комментарий: большое спасибо Петру Караваеву (@karavpetr) за предложенную задачу!