Решение задачи 251

Условие:

При каком N существует замкнутая N-звенная ломаная, которая пересекает себя по каждому звену ровно в одной точке? (пересечение не может происходить в концах звеньев и никакие 3 звена не пересекаются в одной точке)

Решение:

Давайте сразу заметим, что N чётно. Действительно, каждая точка пересечения принадлежит ровно двум звеньям, значит всего точек пересечения -- N/2. Чтобы количество точек пересечения было целым числом, необходимо, чтобы N было чётным.

Также простым перебором можно заметить, что при N=2 и N=4 такую замкнутую ломанную построить не удастся.

Приведем пример такой ломанной при чётном N, больше 4.

Рассмотрим следующую конструкцию. Посередине у нас будет косичка из чётного числа вершин. А ещё 4 вершины мы расставим, как на картинке и соединим их следующим образом:

Легко видеть, что каждое звено такой замкнутой ломанной пересекается каким-то другим звеном только один раз. Поскольку в центральной "косичке" может быть произвольное четное число вершин, то таким образом строится пример для любого чётного N больше 4.

Ответ:

При чётном N больше 4.