Решение задачи 239

Условие:

Сумма двух чисел равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма этих чисел не превосходит 2.

Решение:

Из условия имеем: x+y=x²+y²=(x+y)²-2xy. Обозначим через A=x+y. Из неравенства Коши x²+y²≥2xy следует, что -2xy≥-(x²+y²). Отсюда получаем, что A≥A²-A, то есть 2A≥A². Предполагая, что А положительное, имеем A≤2.

Источник: Практикум ФМШ №2007, 8 класс.