Решение задачи 233

Условие:

Пятеро спортсменов в красных футболках бегут слева направо, а пятеро в синих футболках - справа налево. Когда спортсмен добегает до конца, он разворачивается и бежит в обратную сторону. Скорости всех спортсменов различны и находятся в промежутке от 9 до 12 километров в час (не включительно). Когда встречаются два спортсмена в красных и синих футболках, тренер ставит галочку в своём блокноте. Будем считать, что никакие 3 спортсмена не могут встретиться в один момент. Сколько галочек будет в блокноте у тренера к тому моменту, как самый быстрый спортсмен закончит свой бег?

Решение:

Давайте покажем, что любые два спортсмена в разных футболках успеют встретиться 2 раза к тому моменту, как самый быстрый спортсмен закончит свой бег. В таком случае каждый спортсмен в красной майке встретится дважды с каждым спортсменом в синей майке. То есть произойдет всего 5*5*2=50 встреч.

Почему же любые два спортсмена успеют встретиться дважды? Оценим сверху время движения. Допустим длина дороги -- S километров. Максимальная скорость движения самого быстрого бегуна -- 12 километров в час. Поэтому минимальное время движения -- 2S/12=S/6 часов.

Давайте теперь оценим максимальное время, необходимое для двух встреч любых двух спортсменов в разных футболках. К моменту встречи, два спортсмена в разных футболках пробегут в сумме 3S километров (каждый пробегает S километров, плюс S километров в сумме после поворота). При этом минимальная скорость их сближения -- 18 километров в час (когда оба спортсмена бегут с минимальной допустимой скоростью в 9 километров в час). Таким образом, минимальное время для двух встреч -- 3S/18=S/6 часов.

Мы видим, что время движения всегда превосходит время, необходимое для двух встреч любых двух спортсменах в разных футболках. Значит любые два спортсмена в разных футболках успеют встретиться, и всего произойдет 50 встреч.

Ответ:

50 встреч