Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Главная
Программирование, компьютеры и кибернетика
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера
Рассмотрение двух методов нахождения приближенного корня дифференциального уравнения, применение их на практике. Графическая интерпретация метода Эйлера. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Программная реализация, блок-схемы и алгоритм.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
и усовершенствованным методом Эйлера
Руководитель работы Э.Р. Ахматсафина
1.2 Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна
2.3 Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера
дифференциальное уравнение эйлер алгоритм
Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. В виду не высокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.
Усовершенствованный (модифицированный) метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутта (предиктор-корректор).
Цель курсовой: рассмотреть два метода нахождения приближенного корня дифференциального уравнения и применить их на практике:
- усовершенствованный метод Эйлера.
Курсовая работа состоит из трех частей (теоретическая, практическая и программная). В каждой части описываются определенная информация о методах, так в теоретической описывается как решать тем или иным методом, в практической идет само решение определенного уравнения, а в программной оба метода реализованы на языке ЭВМ.
Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:
где yi+1 это искомое значение функции в точке xi+1.
Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить yi+1 , если известно yi в точке хi:
Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (1) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.
Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок 1). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения )следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=xi - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=xi.
Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера
Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти
откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=xi. Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования. Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x0 и y0 можно вычислить
Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x0, xN]. Ошибка в определении значения y(xi) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).
При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок [xi, xi+1] слишком велик, то каждый участок [xi, xi+1] разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.
1.2 Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна
Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования - формулой трапеций.
Данная формула оказывается неявной относительно yi+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно yi+1, решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначе и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы Эйлера:
которое затем использовать при вычислении по (1).
Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений
Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера (на примере уравнения ).
Y3=3,25+((3*3-3,25+2)/( 3,25*4+3*3))*1=3,663
Y4=3,663+((4*4-3,663+2)/( 3,663*4+3*4))*1=4,201
Y5=4,201+((5*5-4,201+2)/( 4,201*5+3*5))*1=4,834
Рисунок 2. График функции по найденным точкам.
2.3 Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера
Yi=yi-1+h/2*(f(xi-1;yi-1))+*f(xi-1;(yi-1+h*f(xi-1;yi-1))))
Y1=3+1/2*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))+3+1*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))= 4,5
Y2=4,5+1/2*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))+ 4,5+1*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))= 6,91
Y3=6,91+1/2*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))+ 6,91+1*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))= 10,6173
Y4=10,6173+1/2*((4*4-10,6173+2)/( 10,6173*4+3*4))+ 10,6173+1*((4*4-10,6173+2)/
Y5=16,2332+1/2*((5*5-16,2332+2)/( 16,2332*5+3*5))+ 16,2332+1*((5*5-16,2332+2)/
Рисунок 4. График функции по полученным точкам.
Для усовершенствованного метода Эйлера
Для усовершенствованного метода Эйлера.
y:=y+h/2*(f(x,y)+f(x,(y+h*(f(x,y)))));
В качестве тестового примера возьмем уравнение y'=2x
Рисунок 6. Усовершенствованный метод Эйлера.
Рисунок 7. Решение на ЭВМ методом Эйлера.
Рисунок 8. Решение на ЭВМ усовершенствованным методом Эйлера.
Метод Эйлера считается самым простым методом, но это не значит что он самый точный. Усовершенствованный метод немного сложнее в исполнении, но зато за то же количество шагов позволяет построить график значительно точнее.
В заключение лучшим методом стал усовершенствованный метод Эйлера, т.к. он является более точным.
Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.
Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. -- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. -- 432 с.
Ручной расчет поставленной задачи методов Эйлера и Эйлера-Коши. Алгоритмы решения обоих методов, их программная реализация, решение тестовых примеров на заданную задачу. Расчеты заданного интеграла на языке программирования Turbo Pascal, их результаты. курсовая работа [404,7 K], добавлен 15.06.2013
Принцип и значение метода Эйлера для расчета дифференциальных уравнений. Анализ его геометрического смысла. Улучшение метода за счет аппроксимации производной. Разработка блок-схем и программы на языке Turbo Pascal для проверки методов интегрирования. курсовая работа [385,7 K], добавлен 15.06.2013
Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона. курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013
Теоретические основы вариационного исчисления и область применения метода. Практическое решение задач оптимизации методом вариационного исчисления. Нахождение экстремума функционала и частных производных. Составление дифференциального уравнения Эйлера. лабораторная работа [99,5 K], добавлен 16.12.2014
Дифференциальные уравнения как уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Решение операторным методом, с помощью рядов, методом Эйлера. курсовая работа [301,4 K], добавлен 27.03.2011
Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Модифицированный метод Эйлера. Методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачи линейного программирования. методичка [85,2 K], добавлен 18.12.2014
Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого и второго порядка методом Эйлера и Рунге-Кутты и краевой задачи для ОДУ второго порядка с применением пакета MathCad, электронной таблицы Excel и программы Visual Basic. курсовая работа [476,2 K], добавлен 14.02.2016
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Качество Электроэнергии Реферат
Реферат: Проблеми конкурентоздатності у галузі медичних технологій та техніки в Україні можливі перспект
Методичка На Тему Основы Концепции Современного Естествознания
Реферат по теме Российско-арабские взаимоотношения при Екатерине II
Сочинение: Поэтическое своеобразие Марины Цветаевой
Интернет Источники Реферат
Курсовая работа по теме Расчёт линейной размерной цепи и выбор посадок
Реферат: THE INVASION OF NORMANDY Essay Research Paper
Реферат На Тему Путешественники
Реферат: Шутки и остроты А. С. Пушкина. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Культура письменной деловой и научной речи
Курсовая работа по теме Управление текучестью персонала в организации на примере ОАО ИКБ Совкомбанк
Почему Нужно Сохранять Памятники Культуры Сочинение Егэ
Сочинение Образ Рыцаря В Искусстве
Курсовая Работа По Общей И Профессиональной Педагогике
Практическое задание по теме Демографическая ситуация в Харьковской области
Реферат На Тему Муниципально-Правовые Нормы
Анализ Обломова И Штольца Сочинение
Лекция На Тему Построение Декарта
Продукция Классификация Продукции Реферат
Общие сведения о Российской Федерации - География и экономическая география презентация
Проектирование беспроводной сети на основе технологии WiMax для Ставропольского филиала ОАО "ЮТК" - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника дипломная работа
Речь персонажа как средство его характеристики в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" - Литература реферат