Решение
Задача. На бревне длиной 1 метр находятся 100 муравьев. По команде каждый муравей начинает двигаться влево или вправо, причём все муравьи двигаются с одинаковой постоянной скоростью. Когда два муравья встречаются, они меняют движение на противоположное. Дойдя до края бревна, муравьи падают с него. Какое наибольшее число встреч могло быть?
Решение. Можно считать, что муравьи, когда встречаются, не меняют свое движение на противоположное, а проходят сквозь друг друга.
Пусть изначально k муравьев ползут вправо. Тогда каждый из этих муравьев встретится не более чем с 100 – k муравьями. Действительно, он не может встретиться с муравьём, который также ползёт вправо, потому что у всех муравьёв скорость постоянна, а с муравьями, ползущими влево, он может встретиться, а их как раз 100 – k. Аналогично муравьи, ползущие влево, могут встретиться только с муравьями, ползущими вправо.
Тогда всего встреч при фиксированном k максимум k · (100 – k), причём максимум достигается только в случае, когда все муравьи, ползущие вправо, находятся левее всех муравьёв, ползущих влево. Это выражение принимает наибольшее значение при k = 50, равное 2500.
Ответ: 2 500.