Реферат: Загальні властивості неперервних функцій
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.
Теорема 3. (Вейєрштрасса).
Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.
Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.
Теорема 4. (про знак функції).
Якщо функція неперервна в точці А і f(А) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.
Дійсно, нехай , наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого > 0 можна знайти таке > 0, що для всіх х (а — , а + ) виконується нерівність f(х) > 0.
Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).
Якщо взяти = min (h 1
h 2
), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) > 0.
Теорема 5 (про корінь функції).
Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а 1
а 2
, ..., а n
) і В (b 1,
b 2
, ..., b n
), в яких функція набуває значень різних знаків:
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t 0
≤ t ≤ Т за допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.
Якщо точка М 0
(, (t 0
), ,…, збігається з точкою , то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).
Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.
Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.
Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка така, що f () = 0.
Точка називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б — три корені, а на рис., a — один.
Теорема
6
(про
проміжне
значення)
. Якщо функція неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М 1
і М 2
, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М 1
) і f(М 2
), існує принаймні одна така точка М 3
, яка лежить всередині D, що
Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:
якщо у = f(х) неперервна у проміжку і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b] f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f().
Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.
Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка така, що Н() = 0, тобто
Теорема
7 (про
найменше
і найбільше значення
). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:
Числа т
і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х 1
D, в якій функція f(X 1
) набуває найменшого значення f(Х 1
) = т
; і принаймні одна точка Х 2
D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х 2
) = М.
Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:
якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т
і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].
На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що
і одна точка х 2
, в якій f(х 2
) = М.
Теорема 8
(Кантора).
Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.
Название: Загальні властивості неперервних функцій
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 09:53:51 20 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 16
Комментариев: 14
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Загальні властивості неперервних функцій
Реферат: Влияние речи на социальную адаптацию человека
Реферат: Организация системы гарантийного и сервисного обслуживания как стратегическое направление предпр
Курсовая работа по теме Зарождение лицевого шитья в России
Шпаргалки На Тему Педогогика И Психология
Курсовая работа по теме Анализ финансового состояния на примере ЗАО 'Молочный дом'
Междустрочный Интервал В Реферате Стандарт
Дипломная Работа Воспитатель Дошкольного Образования
Дипломная работа по теме Исследование и диагностика финансово-хозяйственной деятельности ООО 'Континент'
Курсовая работа по теме Обоснование философского статуса эстетики, ее методологической роли как философской науки в анализе эстетических явлений
Реферат На Тему Работы В Быту
Реферат: Участие адвоката в подготовке и рассмотрении дел Европейским судом по правам человека. Зарубежный опыт организации и деятельности адвокатуры
Дипломная работа по теме Разработка учебного модуля по теме 'Пропускная способность современных оптических волокон'
Эссе На Тему Идеальный Детский Сад
Дипломная Работа Дизайн Интерьера
12 Лет Рабства Сочинение
Мини Эссе По Обществу Егэ Вареньева Книга
Реферат по теме Вологодская область
Реферат: Роль шахмат в физическом и психическом развитии ребенка
Реферат: Источники по истории Африки
Молодежь И Выборы Эссе
Курсовая работа: Конструирование упаковки из картона и гофрокартона
Реферат: Русско - Турецкая война 1877-1878 гг.
Реферат: Управление и эксплуатация жилищного фонда населения