Реферат: Задачи линейного программирования 2

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Тема Задачи линейного программирования

Цель:
преобретение практических навыков применения методов линейного программирования
Задача линейного программирования (ЛП) состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции:
где a ij
, b i
, c j
– заданные постоянные числа. Функция F(1) называется целевой функцией, выражения (2), (3) – ограничениями. Значения x j
, удовлетворяющие ограничениям (2), (3) образуют область допустимых решений (ОДР) и называются допустимыми. Допустимое решение x j
*
, при которых целевая функция (1) принимает экстремальное значение, называется оптимальным. В зависимости от структуры выражений (1), (2), (3) для решения задачи ЛП могут применяться различные методы, которые рассмотрены ниже.
1.1.
Графический метод решения задач ЛП.

Постановка задачи.

Метод применяется в том случае, если количество переменных задачи ЛП (1), (2), (3) равно двум, т.е.:
Методика решения

.
Процесс решения задачи ЛП графическим методом включает следующие этапы:
1) На плоскости Х 1
ОХ 2
строятся граничные прямые, уравнения которых получают путем замены неравенств (5), (6) на строгие равенства
2) Находятся полуплоскости, определяемые каждым из ограничений (5), (6).
3) Определяется область допустимых решений ОДР задачи на плоскости Х 1
ОХ 2
. Если система ограничений (5), (6) несовместна, то задача ЛП не имеет решения.
5) Строится прямая с 1
х 1
+с 2
х 2
= 0, перпендикулярная вектору и передвигается в направлении вектора (при поиске максимума целевой функции); в результате определяется точка А, принадлежащая ОДР, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Если ОДР не ограничена сверху, то задача ЛП не имеет решений.
6) Определяют координаты точки А – (х 1
*
,х 2
*
) и максимальное значение функции F *
=с 1
х 1
*
+ с 2
х 2
*
.
1. На плоскости Х 1
ОХ 2
строим уравнения прямых: х 1
–х 2
= 3; х 1
+ 2х 2
= 4; х 2
= 4; х 1
=0; х 2
=0
2. Для каждого из ограничений определяем допустимую полуплоскость и отмечаем ее стрелками. Например, условие при х 1
=0; х 2
=0 выполняется. Значит точка (0,0) лежит в допустимой полуплоскости.
3. Определяем допустимую область для всех ограничений задачи (ОДР). Это многоугольник ABCD.
5. Строим прямую F=2x 1
+x 2
= 0. Передвигая ее в направлении вектора , определяем крайнюю точку А, принадлежащую ОДР – это т. А. В т. А функция имеет максимальное значение. Минимальное значение целевая функция принимает в т.С.
6. Координаты т. А находятся путем решения системы
Аналогично определяются координаты точки минимума С:
Индивидуальные задания. Решить графическим методом.
1.2.
Симплексный метод решения задач ЛП.

Прежде чем решать задачу ЛП симплекс-методом ее необходимо привести к каноническому виду
:
Для этого в случае необходимости задача (1.1) поиска минимума сводится к задаче на поиск максимума (1.7) путем изменения знаков коэффициентов С j

Неравенства (1.2) преобразуются в строгие равенства путем введения дополнительных неотрицательных переменных; условия неотрицательности (1.3) распространяются на все переменные путем введения подстановок.
Пример

. Дана задача ЛП в общем виде:
Приведем ее к каноническому виду. Условие неотрицательности не распространяется на переменную х 2
. Поэтому введем подстановку: х 2
= х 5
– х 4
, где .
Изменим вид экстремума на максимум:
Изменим неравенства на строгие равенства путем введения дополнительных неотрицательных переменных. Тогда
Основные понятия и определения

.
Исходная задача (1.7), (1.8), (1.9) может быть представлена в векторной форме:
С=(c 1
, c 2
… c n
); X=(x 1
,x 2
… x n
); P 1
,P 2
…P n
, P 0
– m-мерные вектор-столбцы.
Вектор X=(x 1
,x 2
… x n
) называется опорным планом задачи ЛП, если он удовлетворяет ограничениям (1.8); (1.9) и содержит m отличных от нуля положительных компонент. Остальные (n-m) элементов опорного плана равны нулю. Алгоритм симплекс-метода предполагает переход от одного опорного плана к другому с увеличением при этом значения целевой функции.
В некоторых случаях исходный опорный план можно легко определить. Это происходит тогда, когда среди векторов Pj имеется m единичных. В этом случае соответствующие единичным векторам переменные в опорном плане будут отличны от нуля. Они называются базисными. Остальные переменные равны нулю; они называются свободными.
Симплекс-преобразования продолжаются до тех пор, пока среди чисел не будет отрицательных.
Исходная симплекс-таблица в общем случае имеет вид
В столбце С б
записываются коэффициенты целевой функции с теми же индексами, что и векторы базиса.
В столбце Р 0
записываются положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. В столбцах Р 1
…Р n
записаны коэффициенты ограничений при неизвестных.
В (m+1)-й строке: F 0
– текущее значение целевой функции; в столбцах P j
записаны числа .
1. Задачу ЛП приводят к каноническому виду и находят исходный опорный план.
2. Составляют исходную симплекс-таблицу.
3. Определяют, имеется ли хотя бы одно отрицательное число Δj в (m+1)-й строке. Если нет, то найденный опорный план оптимален.
4. Находят наименьшее отрицательное Δj и соответствующий столбец обозначают как разрешающий. Если в разрешающем столбце среди чисел a ij
нет положительных, то целевая функция не ограничена сверху, а задача ЛП не имеет решения.
5. Находят отношения b i
к положительным a ij
разрешающего столбца. Минимальное из этих отношений определяет разрешающую строку.
6. На пересечении разрешающих строки и столбца определяют разрешающий элемент.
7. Все элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент.
8. Все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяют нулями.
9. Остальные элементы таблицы рассчитываются по правилу прямоугольника и фиксируется введение в базис новой переменной. При этом разрешающая строка определяет переменную, которая исключается из базиса, а разрешающий столбец – переменную, которая вводится в базис.
1. Представим задачу в каноническом виде:
Найдем опорный план X=(0,0,0,360,192,180). Т.о. базисные переменные x 4
, x 5
, x 6
; свободные – x 1
, x 2
, x 3
.
2. Составим исходную симплекс-таблицу:
7, 8, 9, 10 Строим новую симплекс-таблицу по приведенному выше алгоритму, вводя в базис P 3
вместо P 5
.
Полученный опорный план X=(0,0,24,72,0,108) так же не оптимален, т.к. Δ 2
= – 2 < 0. Поэтому по алгоритму симплекс-метода переходим к новому опорному плану, вводя в базис P 2
вместо P 4
.
Этот опорный план X *
=(0; 8; 20; 0; 0; 96) оптимален, т.к. все Δ j
неотрицательны.
Максимальное значение функции на оптимальном решении равно:
F max
= 0·9 + 8·10 + 20·16 + 0·0 + 0·0 + 0·96 = 400
Решение общей задачи ЛП: x 1
*
= 0; x 2
*
= 8; x 3
*
= 20; F max
= 400.
Индивидуальные задания.

Решить задачу ЛП симплексным методом. Варианты заданий взять из индивидуальных заданий пункта 1.1.
В общем случае после приведения задачи ЛП к каноническому виду непосредственно записать опорный план не удается, т.к. среди векторов P j
. нет m единичных. В этом случае задача ЛП решается методом искусственного базиса.
Постановка задачи
. Требуется найти максимум функции
но среди векторов P j
нет m единичных.
Определение
.
Задача, состоящая в определении максимума функции
называется расширенной по отношению к исходной задаче (1.10), (1.11).
Здесь M некоторые большие положительные числа, значения которых не задаются.
Расширенная задача (1.12), (1.13) имеет опорный план:
Переменные x n+1
, x n+2
… x n+m
называются искусственными, а система единичных векторов P n+1
, P n+2
… P n+m
образует искусственный базис.
Если в оптимальном плане расширенной задачи (1.12), (1.13) значения искусственных переменных равны нулю, то – есть оптимальный план исходной задачи (1.10), (1.11).
Поэтому процесс решения задачи ЛП (1.10), (1.11) включает следующие этапы:
1. Для исходной задачи составляют расширенную задачу вида (1.12), (1.13).
2. Находят опорный план расширенной задачи.
3. С помощью вычислений симплекс-метода исключают искусственные вектора из базиса. В результате находят опорный план исходной задачи. Если искусственные переменные исключить из базиса не удается, то задача ЛП неразрешима.
4. Используя найденный опорный план исходной задачи (1.10), (1.11), либо находят симплекс-методом ее оптимальный план, либо устанавливают ее неразрешимость
Представим эту задачу в каноническом виде:
Для образования базиса необходимо три единичных вектора, т.к. m = 3. Но среди векторов P j
:
есть только два единичных – P 4
и P 5
. Поэтому составим расширенную задачу, введя искусственную переменную x 7
в целевую функцию и в третье ограничение:
Расширенная задача имеет опорный план X=(0;0;0;24;22;0;10), определяемый базисом P 4
, P 5
, P 7
.
Δ 2
= 1·1 + 2·0 + 2(–M)–(–3) =4 + M
При этом в (m+2)-й строке записываем коэффициенты при М. В начале проверяем условие для последней (пятой) строки. Здесь есть отрицательные числа: и .
Переходим к новому опорному плану по алгоритму симплекс-метода. Для этого исключим вектор P 7
из базиса, а вектор P 3
введем вместо него. В дальнейшем искусственный вектор P 7
не имеет смысла вводить в базис, поэтому столбец P 7
исключаем из таблицы.
Так как все искусственные векторы исключены из базиса то нет смысла включать в таблицу и (m+2)-ю (пятую для нашей задачи) строку.
Поэтому новая таблица имеет четыре строки и шесть столбцов:
Полученное опорное решение Х=(0;0;5;34;2;0) не является оптимальным; т.к. Δ 6
<0.
Дальше итерационный процесс ведется по (m+1)-й строке до получения оптимального решения или установления неразрешимости задачи.
Вводим в базис P 6
вместо P 5
и переходим к новой таблице:
Т.к. все , то полученный опорный план – оптимальный. .
Индивидуальные задания.

Решить задачу ЛП методом искусственного базиса. Варианты заданий взять из индивидуальных заданий пункта 1.1.

Название: Задачи линейного программирования 2
Раздел: Рефераты по информатике
Тип: реферат
Добавлен 22:26:41 27 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 44
Комментариев: 12
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Задачи линейного программирования 2
Защита Авторских Прав Реферат
Прошлое Влияет На Будущее Сочинение
Курсовая Модель Угроз В Организации Vipnet Скачать
Управление Капиталом Организации Курсовая
Реферат: Система управления на примере производственной организации "Элитная мебель". Скачать бесплатно и без регистрации
Урок Русского Сочинение По Теме
Контрольная Работа По Теме Личность И Общество
6 Класс Математика Никольский Входная Контрольная Работа
Курсовая работа по теме Характеристика радиорекламы (на примере 'Радио Югра')
Контрольная работа: Общая и специальная физическая подготовка волейболистов
Реферат Биография С С Прокофьева
Реферат: Инновации в гостиничном бизнесе
Дипломная Работа На Тему Опыт Становления Местного Управления В Росии
Реферат: The Essence Of A Love Poem Essay
Поступки Сочинение Егэ
Реферат: Charles Lutwidge Dodgson
Как Писать Сочинение По Личности История Егэ
Курсовая работа по теме Виды и оптимальная величина фирм в мировой практике
Реферат по теме Раскол в русской православной церкви XVII века
Чем Отличается Сложно Сочинение От Сложноподчиненного Предложения
Реферат: Уложение Амира Темура
Контрольная работа: Птицеводческий бизнес Николаевской области
Курсовая работа: Расчет трехкорпусной выпарной установки непрерывного действия