Реферат: Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

«Задачи Пятого Турнира Юных Математиков»

Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.
Условие:
Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через S L
, S M
, S K
площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что .
Решение задачи разобъем на четыре этапа:
4. Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что
Этап 1
: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.
Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
Найдем отношение площади
PSQ к площади
АВС через разность площадей S
PSQ = S
АВС – (S
APQ + S
CQS + S
BPS).
Тогда из S
PSQ = S
АВС – (S
APQ + S
CQS + S
BPS) Þ
Раскрыв скобки, выражение можно записать как
Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:
Подставим неравенства в числители дробей
Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - S k
) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .
Этап 2
: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.
Пусть АН, BG, CF – биссектрисы
АВС, тогда
FGH – искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и
FGH.
Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда
По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение
FBH,
HCG,
FAG к площади
ABC.
Теперь, из неравенства Коши ( ) Þ .
Итак,отношение площади треугольника FHG (по условию - S l
), вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС - .
Этап 3
: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC.
Проведем из вершин АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках E, R и T.
RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7RT.
ER=AT и ER7AT по этим же признакам ÞAERT – параллелограмм.
Значит ÐEAT=ÐERT (*) – по свойству параллелограмма.
Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них ÞÐRET = ÐRCT, ÐRBE = ÐETR (**).
Из (*) и (**) Þ ERT подобен АВС при (по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», .
Итак, отношение площади треугольника (по условию S K
), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС - .
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.
Условие:
Решить уравнение xy 2
+ xy + x 2
– 2y – 1 = 0 в целых числах.
Представим исходное уравнение в виде:
Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kÎZ. Тогда
Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное.
Подставим значения в преобразованное уравнение.
Введем замену: х 1
= -х. Тогда полученное уравнение примет вид .
Решим данное уравнение относительно х 1
(очевидно, что ).
1. Рассмотрим случай, когда k = 1. Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3; Ответ: (1;0), (0;-3);
2. Рассмотрим случай, когда k = -1. Отсюда, х = -1 или х = ­­ = -3, тогда у = 0 или у = 1; Ответ: (-1;0), (-3;1);
3. Рассмотрим случай, когда k = 3. Отсюда у = -14. Ответ: (-9;-14)
4. Рассмотрим случай, когда k = -3. - нет решений в области целых чисел.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).
Доказать, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное.
Далее замечаем, что . Рассмотрим это число:
1. n = 2k.. 4k 2
(2k-1) – это число четное.
2. n = 2k+1. 2k*(2k+1) 2
– также число четное.
Отсюда следует, что - число четное при любых допустимых значениях n. Значит,
, как сумма четных чисел, число четное.
- при четном х – четное, значит сумма четна ÞF(x) – четное.
- при четном х – четное, значит сумма нечетна ÞF(x) – четное.
Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении nÞ
В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных - число четное, а для четных - число нечетное.
Условие:
Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения
при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит
Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда
Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.
Идем от обратного: S(y)=n где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.
При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – .
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.
Найти все функции , для которых выполняется
Теперь подставим в исходную функцию.
Значит, одно из возможных значений функции - .
Условие:
Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f(0)=f(1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:
Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
1. y 2
= x – x 2
(точка лежит на контуре)
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 90 0
)
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты

Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n – нечетно, то их количество четно.
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула

Название: Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 06:57:21 01 ноября 2006 Похожие работы
Просмотров: 10
Комментариев: 16
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Курсовая работа: Разработка модели действующей организации
Реферат по теме Системный подход, его сущность и возможности
Реферат: Raves And Drugs Essay Research Paper Generally
Курсовая работа по теме Трансформация XML документов
Практическая Работа Химия 9
Особенности восприятия школьника
Реферат: Русский художник 18 века Антон Павлович Лосенко
Реферат: Computer Viruses Infection Vectors And Feasibility Of
Контрольная работа по теме Задачи и трудности подросткового периода глазами подростка
Эссе Жизнь Героев Рассказа Темные Аллеи
Реферат На Тему Методика Составления Бизнес-Плана Инвестиционного Проекта
Реферат Деятельность Прокуратуры
Всемирный конгресс финно-угорских народов в системе региональных международных отношений
Курсовая работа по теме Создание организации 'Гелиар'
Учебное Пособие На Тему Командно-Штабна Машина Р-142н
Профессиональная Этика В Медицине Реферат
Родная Литература 6 Класс Контрольные Работы
Контрольная работа по теме Методы проецирования
Реферат: Особенности всенощного бдения. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Особенности русской философии 19-20вв.
Реферат: География электроэнергетической промышленности России 2
Реферат: Болезнь Паркинсона с двусторонним поражением, и дегенирацией черного вещества. Акинетико-ригидный синдром, тремор
Реферат: Закупочная логистика понятие и структура