Реферат Вычисление Вероятности Сложных Событий
Реферат Вычисление Вероятности Сложных Событий
Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
репетиторы онлайн
от проекта «ИнфоУрок»
Онлайн-занятия с репетиторами
Подберём репетитора лично для Вас и запишем на бесплатное пробное занятие!
Инфоурок
›
Математика
›
Конспекты
›
Лекция по теме "Вероятности сложных событий"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).
Лекция по теме "Вероятности сложных событий"
сформировать представление о сложных событиях;
развить воображение, сообразительность, познавательный интерес;
воспитать логическое мышление, внимание, словесно-логическую память.
3. Повторение и систематизация материала.
Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.
Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ. 2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил.
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3-е изд., испр. –М.: Высш. шк.., 2001.- 336 с.: ил.
Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М, 2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование»)
Определение: Событие, которое в результате опыта должно произойти непременно, называется достоверным событием.
Определение: Событие, которое в данном опыте не может произойти, называется невозможным.
Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.
Определение: Два события называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.
Определение: Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, т. е. или событие А или В или А и В вместе.
Определение: Произведением А.В двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Определение: Противоположным к А называется событие , состоящее в том, что А не произошло.
Определение: Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого.
Определение: Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р(В|А) (или PA(B)) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Пример . Какова вероятность того, что при десятикратном бросании монеты герб выпадет 10 раз ?
Решение: Пусть событие Ai — появление герба при i-м бросании. Искомая вероятность есть вероятность совмещения всех событий Ai (i=1,2,3,...,10), а так как они, очевидно, независимы в совокупности, то применяя формулу (10), имеем
Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое уже наступило.
Пример. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми ?
Решение: Эта задача уже была решена в п. 3 с помощью классического определения вероятности. Решим ее, применяя формулу (5). Извлечение двух шаров равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении, а через В — при втором. Событие, состоящее в появлении двух белых шаров, является совмещением событий А и В. По формуле (5) имеем
Но Р(А)=3/10; РA(В)=2/9, поскольку после того, как был вынут первый белый шар, в урне осталось 9 шаров, из которых 2 белых. Следовательно,
Теорема: Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Пример. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?
Решение: Находим соответственно вероятности появления зеленого, красного и коричневого шаров: Р(зел.)=2/24; Р(кр.)=7/24; Р(кор.)=5/24. Так как рассматриваемые события, очевидно, несовместны, то, применяя аксиому сложения, найдем вероятность появления цветного шара:
Если A и B – совместные события, то
Для трех и более совместных событий эта формула значительно усложняется.
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A .B)-P(A .C)-P(B .C)+P(A .B .C).
Пример: Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, а из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
Решение: Пусть событие А – хотя бы одно попадание в мишень, событие А1 – попадание в мишень из первого орудия, событие А2 – попадание в мишень из второго орудия.
Поскольку события А1 и А2 совместны, то
Т.к. события А1 и А2 независимы, то P(A1 ,A2)=P(A1) ,P(A2),
где P(A1)=0,85, а P(A2)=0,91 по условию задачи.
Итак, P(A) =0,85+0,91-0,85, 0,91=0,9865.
Вероятность противоположного события
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно должно появиться хотя бы одно из этих событий, Отсюда следует, что сумма событий полной группы есть достоверное событие, вероятность которого равна единице.
Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта появится одно и только одно из этих событий.
Для суммы таких событий справедлива формула
P(A1+A2+….+An) = P(A1)+P(A2)+….+P(An) = 1.
Теорема: Два противоположных друг другу события образуют полную группу:
Пример: В партии содержится 20 деталей, среди которых 4 нестандартных. Для контроля взяли наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей нестандартна.
Решение: Пусть событие А – хотя бы одна из взятых деталей окажется нестандартной. Рассмотрим событие, противоположное событию А:
- среди взятых деталей нет нестандартных. Вычислим вероятность события :
Теперь вычислим вероятность искомого события:
Пример: Перегорела одна из пяти электроламп, включенных в сеть последовательно. С целью устранения повреждения наудачу выбранную лампочку заменяют годной, после чего сразу проверяется исправность линии. Если повреждение не устранено, то заменяется другая лампочка. Найти вероятность того, что повреждение будет устранено только после замены третьей лампочки.
Решение: Пусть событие А – повреждение будет исправлено после замены третьей лампы.
А1 – первая замененная лампа оказалась перегоревшей;
А2 – вторая замененная лампа оказалась перегоревшей;
А3 – третья замененная лампа оказалась перегоревшей.
Вероятность события есть вероятность того, что первая замененная лампа оказалась исправной.
Условная вероятность - вероятность того, что вторая замененная лампа оказалась исправной, если известно, что первая замененная лампа также исправна.
Наконец, условная вероятность есть вероятность того, что третья замененная лампа оказалась перегоревшей, если известно, что первая и вторая замененные лампы были исправными.
Теперь подсчитаем искомую вероятность: P(A)=
Пример: Вероятности того, что деталь нужного вида находится в первом, втором, третьем ящике соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится не менее, чем в двух ящиках.
Решение: Пусть событие А – деталь нужного вида находится не менее, чем в двух ящиках. Рассмотрим следующие три события:
А1 – деталь нужного вида имеется в 1-ом ящике;
А2 – деталь нужного вида имеется во 2-ом ящике;
А3 - деталь нужного вида имеется в 3-ем ящике.
Событие B1= заключается в том, что нужного вида деталь имеется во 2-ом и 3-ем ящиках, но ее нет в 1-ом ящике. События имеется во 2-ом и 3-ем независимы, поэтому
Событие заключается в том, что нужного вида деталь имеется в 1-ом и в 3-ем ящиках, но ее нет во 2-ом ящике.
Событие B3=A1 ,A2 ,заключается в том, что нужного вида деталь имеется в 1-ом и 2-ом ящиках, но ее нет в 3-ем ящике.
Наконец, событие B4=A1 ,A2 ,A3 заключается в том, что нужного вида деталь имеется и в 1-ом, и во 2-ом, и в 3-ем ящиках.
Событие А произойдет тогда, когда произойдет одно из событий:
или В1, или В2, или В3, или В4. Поэтому А=В1+В2+В3+В4.
Поскольку события В1, В2, В3, В4 несовместны, то
P(A)=0,216+0,126+0,056+0,504=0,902.
Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н1, Н2,… Нn, которые образуют полную группу событий. Тогда справедлива формула полной вероятности события А :
где Р(Нк) – вероятность гипотезы Нк, Р(АНк) – условная вероятность А, т.е. вероятность появления события А при условии, что произошла гипотеза Нк .
Пример. Три автомата изготовляют одинаковые детали.
Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции, второй – 25% и третий – 45%. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, на первом автомате равна 0,99, на втором – 0,988 и на третьем – 0,988. все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.
Решение: Пусть событие А – взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.
Н1- взятая деталь изготовлена первым автоматом;
Н2- взятая деталь изготовлена вторым автоматом;
Н3- взятая деталь изготовлена третьим автоматом.
Р(АН1) – вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту, если она изготовлена первым автоматом.
Вероятность события А подсчитываем по формуле полной вероятности :
Р(А)=0,3 .0,01+0,25 .0,012+0,45 .0,012=0,009.
Пример 1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.
Решение: Пусть событие Н1 состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н2 состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н3 состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р(Н1) = = 7/15, Р(Н2) = = 1/15, Р(Н3) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).
Если реализовалась гипотеза Н1, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р(А/Н1) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н2, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р(А/Н2) = = 4/33. Легко показать, что Р(А/Н3) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:
Р(А) = (5/33)(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330
Пример 2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.
Решение Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н1 состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н2 состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н3 состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:
Теперь вычислим условные вероятности события А.
Р(А/Н1) = ; Р(А/Н2) = ; Р(А/Н3) = .
Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности
Пример 3. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?
Решение Событие A – установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока – может произойти, если произойдет одно из несовместных событий: – установленный на машине двигатель изготовлен на первом, втором или третьем заводе соответственно. Эти события образуют полную группу, их вероятности:
Дайте классическое определение вероятности.
Сформулируйте теорему умножения вероятностей.
Сформулируйте теорему сложения вероятностей.
Как найти вероятность противоположного события?
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
Курс профессиональной переподготовки
Влияние сенсорной интеграции на ребенка с ОВЗ в дошкольный период
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Выберите категорию:
Все категории
Алгебра
Английский язык
Астрономия
Биология
Внеурочная деятельность
Всеобщая история
География
Геометрия
Директору, завучу
Доп. образование
Дошкольное образование
Естествознание
ИЗО, МХК
Иностранные языки
Информатика
История России
Классному руководителю
Коррекционное обучение
Литература
Литературное чтение
Логопедия, Дефектология
Математика
Музыка
Начальные классы
Немецкий язык
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Природоведение
Религиоведение
Родная литература
Родной язык
Русский язык
Социальному педагогу
Технология
Украинский язык
Физика
Физическая культура
Философия
Французский язык
Химия
Черчение
Школьному психологу
Экология
Другое
Выберите класс:
Все классы
Дошкольники
1 класс
2 класс
3 класс
4 класс
5 класс
6 класс
7 класс
8 класс
9 класс
10 класс
11 класс
также Вы можете выбрать тип материала:
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Знаете, что говорят коллеги из Вашего учебного заведения о КУРСАХ «Инфоурок»?
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Лекция по теме "Вероятности сложных событий"
Вычисление вероятностей простых и сложных событий
Вероятности сложных событий. Основные правила...
Вычисление вероятности сложных событий
Реферат : Случайное событие и его вероятность.
Дипломные Работы Логопедия
Как Оформлять Сочинение 9.3
Жизненный Опыт Сочинение 9.3 Паустовский
Как Начать Сочинение Рассуждение По Русскому Егэ
Документация Курсовая Работа