Реферат: Уравнения с параметрами

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
§2. Основные виды уравнений с параметрами.
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.
Большую роль в развитии математического мышления учащихся на факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.
Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и рекомендациями к решению.
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
F
( х, у, ..., z; α,β, ..., γ
) =
0 ( F
)
с неизвестными х, у, ..., z
и с параметрами α,β, ..., γ
;при всякой допустимой системе значений параметров α 0
,β 0
, ..., γ 0

уравнение (F) обращается в уравнение
F(х, у, ..., z; α 0
,β 0
, ..., γ 0
)
=
0( F 0

)
с неизвестными х, у,...,
z, не содержащее параметров. Уравнение ( Fo
) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности.
Определение.

Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры, устанавливается следующим образом.
Определение.

Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =
0 ( F
),
Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ)
=
0 ( Ф
)
с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ..., γ
);
Говорят, что система функций ( Х
), заданных совместно, удовлетворяет уравнению ( F
), если при подстановке этих функций вместо неизвестных х, у,...,
z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров:
F
(
x
(α,β, ..., γ),
y (
α,β, ..., γ),…,
z (α,β, ..., γ
)
≡0.
При всякой допустимой системе численных значений параметров α = α 0
,β=β 0
, ..., γ= γ 0

соответствующие значения функций ( Х
) образуют решение уравнения
F(х, у, ..., z; α 0
,β 0
, ..., γ 0
) =
0
§2. Основные виды уравнений с параметрами .
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах
= b
, где х
– неизвестное, а,
b
– параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а
= 0.
1. Если а
≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х
= .
2. Если а
= 0, то уравнение принимает вид: 0 х
= b
. В этом случае значение b
= 0 является особым значением параметра b
.
2.1. При b
≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b
= 0 уравнение примет вид : 0 х
= 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х
обращается в 0.
Такими значениями являются а=0
и а=2.
При этих значениях а
невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х.
В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2
это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества
A 1
={0}, А 2
={2} и Аз= { а
≠0, а
≠2}
и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:
1) При а=
0уравнение (2) принимает вид 0 х
= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=
2уравнение (2) принимает вид 0 х
=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=
0 т в е т: 1) если а=
0 ,
то корней нет; 2) если а=
2 ,
то х
— любое действительное число; 3) если а
≠0, а
≠2 , то х
=
( а
— 1) х
2
+2 (2 а
+1) х
+(4 а
+3) =0; (3)
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a
=1. Дело в том, что при a
=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠
1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а
=l; 2) а
≠1.
1) При a
=1 уравнение (3) примет вид б х
+7=0. Из этого
2) Из множества значений параметра а≠
1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0
при а=а о
,
то при переходе значения D
через точку а о

дискриминант может изменить знак (например, при а<а о

D< 0, а при а>а о

D>0). Вместе с этим при переходе через точку а о
меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<а о

корней нет, так как D< 0, а при а>а о

D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
=(2а+ l) 2
— (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.
Из уравнения =0 находим а= —
второе контрольное значение параметра а.
При
этом если а
<
, то D <0; если a
≥
, , то D≥0.
Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а
<
и в случае, когда { a
≥
, a
≠ 1 }.
Если а
<
, то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же
Ответ: 1) если а
<
, то корней нет ; 2) если а
= 1, то х = - ;
Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.
Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.
Р е ш е н и е. Значение а=0
является контрольным. При a
=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а≠0,
то после преобразований уравнение (4) примет вид:
х
2
+2 (1 — а
) х
+ а
2
— 2 а —
3 =
0 .
(5)
= (1 — a
) 2
— ( a
2
— 2 а
— 3) = 4.
При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась
область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х
1
+1=0, х
1
+2=0, х
2
+1=0, х
2
+2=0.
Если х
1
+1=0, т. е. ( а
+1)+1=0, то а= —
2. Таким образом, при а= — 2 х
1
— посторонний корень уравнения (4).
Если х
1
+2=0, т. е. ( а
+1)+2=0, то а= —
3 .
Таким образом, при а= —
3 x
1
— посторонний корень уравнения (4).
Если х
2
+1 =0, т. е. ( а
— 3)+1=0, то а=
2 .
Таким образом, при а=
2 х
2
— посторонний корень уравнения (4)'.
Если х
2
+2=0, т. е. ( а
— 3)+2=0, то а
=1. Таким образом, при а=
1 х
2
— посторонний корень уравнения (4).
Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

только х
2
только х
2
корней нет только х
1
только х
1

х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2
х
1,2


В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3
получаем х
= — 3 — 3= — 6;
при a
= — 2 х
= — 2 — 3= — 5; при a
=1 х
= 1+1=2; при a=2 х
=2+1=3.
От в ет: 1) если a
= — 3,
то х
= — 6; 2) если a
= — 2, то х
= — 5; 3) если a
=0, то корней нет; 4) если a
= l, то х
=2; 5) если а=2,
то х
=3;
Иррациональные уравнения с параметрами.
Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.
П р и м ер . Решить уравнение х
- = 1. (6)
Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.
Перепишем исходное уравнение в виде:
При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:
2 х
2
– 2 х
+ (1 - а
) = 0, D
= 2 а
– 1.
Особое значение : а
= 0,5. Отсюда :
1) при а
> 0,5 х
1,2
= 0,5 ( 1 ± );
3) при а
<0,5 уравнение не имеет решений.
1) при подстановке х
= 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х
= 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).
2) при подстановке х 1
= 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:
Так как левая часть равенства отрицательна, то х 1
не удовлетворяет исходному уравнению.
Проведя равносильные преобразования, получим:
Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:
Имеем истинное равенство при условии, что
Это условие выполняется, если а ≥1. Так как равенство истинно при а ≥1, а х 2
может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х 2
– корень уравнения при а ≥1.
Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sinx и y = cosx. Рассмотрим примеры.
Пример .
Решить уравнение: cos =2 а
.
Решение:
Так как Е
(соs t
)=[-1; 1], то имеем два случая.
1.
При | a
| > 0,5 уравнение не имеет решений.
а
)
=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2 а
+2 π
n
≥0, то n
может принимать значения n
=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х
= 1+(2 π
n
+аrссоs2 а
) 2

б)
=-аrссоs2 а
+ πn
. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2 а
+2 πn
>0, то n
=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х
=1+(2 πn
-arccos2 a
) 2
.
Ответ: если | a
| > 0,5, решений нет;
если | a
| ≤0,5 , х
= 1+(2 π
n
+аrссоs2 а
) 2
при n
= 0, 1, 2,... и х
=1+(2 πn
-arccos2 a
) 2
при n N.
Пример .
Решить уравнение: tg ax
2
=
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:
1.
Если а
=0, то уравнение не имеет решений.
Уравнение имеет решение, если ≥0. Выясним, при каких значениях n

откуда n
≥ и а
> 0 или n
≤ и а
< 0.
Итак, уравнение имеет решение х = ±
, если
при а
> 0 и n
= 1,2,3,… или а
< 0 и n
Z
х = ±
.
Пример. Решите уравнение: а
sin bx
= 1
Решение: Особое значение параметра а
: а
= 0.
2. При а
0 sin bx
= . Имеем 2 случая:
2.2. Если ≤ 1, то особое значение b
= 0:
Ответ: при а
= 0 или > 1 и а
0 или а
0 b
= 0 решений нет;
Показательные уравнения с параметрами.
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а
f (

x)

= b φ(х

)
(*), где а
> 0, b
> 0.
Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(
x)
и φ (х).
Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:
1) При а
= b
= 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D
.
2) При а
= 1, b
≠ 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)
= 0 на области допустимых значений D
.
3) При а
≠ 1, b
= 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х)
= 0 на области D
.
4) При а
= b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х)
= φ(х)
на области D
.
5) При а
≠ b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) уравнение (*) тождественно уравнению
log c

a
f(

x)

= log c

b
φ(

x)

( c
> 0, c
≠ 1) на области D
.
Пример. Решите уравнение: а
х

+ 1
= b
3 – х


Решение. ОДЗ уравнения: х
R
, а
> 0, b
>0.
1) При а
≤ 0, b
≤ 0 уравнение не имеет смысла.
3) При а
= 1, b
≠ 1 имеем: b
3 – х

= 1 или 3 – х
= 0 х
= 3.
4) При а
≠ 1, b
= 1 получим: а
х

+ 1
= 1 или х
+ 1 = 0 х
= -1.
5) При а
= b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) имеем: х
+ 1 =3 – х
х
= 1.
6) При а
≠ b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение
Ответ: при а
≤ 0, b
≤ 0 уравнение не имеет смысла;
при а
= b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1) х
= 1
при а
≠ b
( а
> 0, а
≠ 1, b
>0, b
≠ 1)
Логарифмические уравнения с параметром.
Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.
Пример. Решите уравнение 2 – log (1 + х
) = 3 log а

- log ( х
2
– 1 ) 2

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:
log а

а
2
+ log ( х
2
- 1) = log а

( ) 3
+ log a

,
log а

( а
2
( х
2
- 1)) = log а

(( ) 3
),
Так как х
≠ -1 и х
≠ 1, сократим обе части уравнения на ( х
- 1)
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
а
4
( х
+ 1) = х
– 1 а
4
х
+ а
4
= х
– 1 х
( 1 - а
4
) = а
4
+ 1
Для того чтобы значения х
являлось решением уравнения, должно выполняться условие х
> 1, то есть
Выясним, при каких значениях параметра а
это неравенство истинно:
Так как а
> 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а
4
> 0, то есть при
Итак, при 0 < a
< 1, x
> 1, значит при 0 < a
< 1 х
является корнем исходного уравнения.
Ответ: при а
≤ 0, а
= 1 уравнение не имеет смысла;
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
В общеобразовательных классах данная тема не берется в явном виде. Она рассматривается в заданиях более сложного характера. Например, при изучении темы "Квадратные уравнения", можно встретить следующие задания:
1) При каком р
уравнение х
2
– 2 х
+ 1 = р
имеет один корень ?
2) При каких значениях параметра р
сумма корней квадратного уравнения
х
2
+ ( р
2
+ 4 р
– 5 ) х
– р
= 0 равна нулю ?
В классах с углубленным изучением математики уравнения с параметрами целенаправленно начинают изучать с 8 класса. Именно в этот период вводится понятие "параметр". Основная задача – научить учащихся решать уравнения с одним параметром.
Ученики должны уяснить, что уравнения с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Отсюда и вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения выделяются подмножества множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество корней уравнения. Нужно обратить внимание на запись ответа. В нем должно быть указано для каждого значения параметра (или множества его значений), сколько корней имеет это уравнение и какого вида.
На факультативных занятиях следует разобрать следующие виды задач:
1) на разрешимость: определить параметры, при которых задача имеет хотя бы одно решение или не имеет решений вовсе.
2) на разрешимость на множестве: определить все параметры, при которых задача имеет m решений на множестве М или не имеет решений на множестве М.
3) на исследование: для каждого параметра найти все решения заданной задачи.
Разработка факультативных занятий приведена в приложении. Структура следующая:
Занятие№1. Решение линейных и квадратных уравнений
Занятие№2. Решение линейных и квадратных уравнений
Занятие№3. Решение дробно-рациональных и иррациональных
Занятие№5. Решение тригонометрических уравнений
Занятие№6. Решение тригонометрических уравнений
Занятие№7. Решение показательных и логарифмических
а) при k=-2 корней нет; при k =-2 ;
в) при k=-2 корней нет; при k =-2 и k =0,25 .
а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;
б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 ;
в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а 0 и а 2 .
а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .
а)при b +1, b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;
б)при b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла;
а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0
а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3)
в) при а -2 и а - корней нет; при а=-2 .
а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 и а 9 ;
б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а -9 и а 9 ;
в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а -9 ;
а) а ( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а ( - 3 ; 3) ; в) с ( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)
а)при а 1,а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;
б) при а 2,25, а -0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла;
в) при а 1, а -0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.
а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6
а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1
а) с ( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3)
а) при b
( -1; 0,5 ) х
= ± arcos ; при b
(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет;
б) при b
[ -1; 0,5 ] х
= ± arcos ; при b
(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет;
в) b
(-∞;-1]U[0,5;+∞) х
= ± arcos ; b
( -1; 0,5 ) при реш.нет;
а) a
[ -4; 2 ] ; б) а
( -4 ; 2) ; в) а
[ - 4; 2 ).
а) a
[ 0,5; 1 ] ; б) а
[ -1 ; 0,5 ] ; в) а
[ - 0,5; 1 ).
а) при а
≤ 0 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 2; при а
= 1 не имеет смысла.
б) при а
> 0 х
R ; при а
= 1 х
= 2; при а
≤ 0 не имеет смысла.
в) при а
= 1 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 2; при а
≤ 0 не имеет смысла.
а) при а
≤ 1 х
= 0,5( 2+ ) ; при а
=100 х
= 1.
б) при а
> 100 реш. нет; при 1< a
<100 х
= 0,5( 2+ ); при а
=100 х
= 1;
в) при а
> 100 реш.нет ; при 1< a
<100 х
= 0,5( 2+ ) ;
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log 2
( ax
) = 2 log 2
(1 - x
)
а) а
> 0, а
= 2 ; б) а
> 0, а
= - 2 ; в) а
< 0, а
= - 2 .
а) а
; ; б) а 2

; - ; в ) а 2

;
а) при | b
| ≤ 1 х
= ; при | b
| > 1 реш.нет;
б) при | b
| ≤ 1 и b
=0 х
= ; при | b
| > 1 реш.нет;
в)при | b
| > 1 х
= ; при | b
| < 1 реш.нет;
а) a
( 2 ; 6 ) ; б) а
( 2 ; 4 ] ; в) а
[ 2 ; 6 ].
а) a
[ 0,25; 0,5 ] ; б) а
[ 0,25 ; 1 ] ; в) а
[ - 0,25; 1 ].
а) при а
≤ 0 х
R ; при а
> 0, х
= 1; при а
= 1 не имеет смысла.
б) при а
= 1 х
R ; при а
> 0, а
1 х
= 1; при а
≤ 0 не имеет смысла.
в) при а
> 0 х
R ; при а
= 1 , х
= 1; при а
≤ 0 не имеет смысла.
а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.
7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень
При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность.

Название: Уравнения с параметрами
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 16:08:37 18 сентября 2005 Похожие работы
Просмотров: 3746
Комментариев: 16
Оценило: 6 человек
Средний балл: 4.8
Оценка: 5   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Уравнения с параметрами
Контрольная работа: Отопительные приборы. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Направления расходования средств федерального бюджета
Курсовая работа: Проектирование крана
История Мчс России Реферат
Курсовая работа: Видернаблюдение за депозитарием банка
Реферат: Основные социально-экономические показатели развития г Рязани
Контрольная работа по теме Стратегический потенциал
Курсовая работа: Формирование кредитной политики банка
История Возникновения Интернета Реферат
Доклад: Отношение американистики к общему языкознанию
Реферат: Цели и задачи управления банковскими рисками на кредитном рынке. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчет По Учебной Практике Реферат
Реферат: Международное положение и внешняя политика Советского государства в 30 – 40х гг. Вторая мировая война
Реферат по теме Семантически производные существительные в романе 'Евгений Онегин' А.С. Пушкина
Реферат по теме Миллисекундная синхронизация экстремумов ЭКоГ, ак свидетельство смысловых квантов ЭЭГ
Контрольная Работа На Тему Искусство Как Особый Вид Духовного Производства
Дипломная работа по теме Управление формированием кадровой политики в организации на примере федерального предприятия
Учебное пособие: Кристаллические структуры твердых тел
Реферат по теме Экспедиция русского флота в архипелаг (1768—1774гг.)
Реферат Англия Экономическое Лидерство И Политические Реформы
Реферат: Консалтинг поставили на конвейер
Реферат: Природно-ресурсный потенциал Днепропетровской области
Доклад: Интимная хирургия