Реферат: Умова перпендикулярності прямих
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х 1
,у 1
)
:
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х 1
,у 1
)
і (х 2
,у 2
)
:
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а
і в
на осях координат:
12. Відстань від точки (х 1
,у 1
)
до прямої Ах+Ву+С=0:
13. Рівняння кола з центром (х 0
,у 0
)
і радіусом R
:
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а
і в
:
Фокуси еліпса F(c;0)
i F /
(-c;0)
, де с 2
=а 2
-в 2
15. Фокальні радіуси точки (х,у)
еліпса (1):
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а
і в
:
нерівностями a
£
x
£
b, y 1
(x)
£
y
£
y 2
(x), z 1
(x, y)
£
z
£
z 2
(x, y)
де y i
(x)
, z і
(x, y), (і=1, 2)
– неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)
можна обчислити за формулою:
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
де О
'
(а;в)
- новий початок, (х;у)
- старі координати точки, [
х
'
;у
'
]
- її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х=
х
'
cos
a
-
у
'
sin
a
; y=
x
'
sin
a
+
y
'
cоs
a
,
де (х,у)
- старі координати точки, [х '
,у '
]
- її нові координати, a
- кут повороту.
3. Відстань між точками (х 1
,у 1
)
і (х 2
,у 2
)
:
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х 1
,у 1
)
і (х 2
,у 2
)
в даному відношенні l:
При l=1, маємо координати середини відрізка:
5. Площа трикутника з вершинами (х 1
,у 1
), (х 2
,у 2
)
і (х 3
,у 3
)
:
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
де к=
tg
j
(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох
,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу
.
7. tg
q
=
- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к
і к /
.
Умова паралельності прямих: к /
=к
.
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а
і в
:
25. Параметричні рівняння циклоїди:
II.
Диференціальне числення функцій
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
4. Приріст функції у=
f(x),
що відповідає приросту
аргументу х
:
5. Умова неперервності функції у=
f(x)
:
Основна властивість неперервної функції:
Геометрично y /
=
f /
(x)
- кутовий коефіцієнт дотичної до
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y)
, розповсюдженим на область S
, називається число:
де (х і
, у і
) є
D
S i
(
і=1, 2,…
n)
і d
– найбільший діаметр комірок D
S i
.
Якщо f(x, y)
³
0
, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S
і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y)
.
2. Якщо область інтегрування S
стандартна відносно осі Оу
і визначається нерівностями a
£
x
£
b
, y 1
(x)
£
y
£
y 2
(x)
,
де y 1
(x),y 2
(x)
– неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y)
виражається формулою:
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j
і r
,
де x=r cos
j
, y=rsin
j
має вигляд:
Якщо область інтегрування S
визначається нерівностями: a
£
j
£
b
, r 1
(
j
)
£
r
£
r 2
(
j
),
то
4. Якщо r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластини S
, то її
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r
=1
отримуємо формулу площі пластинки
5. Статистичні моменти пластинки S
відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами:
де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S
визначаються за
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r
=1
.
7. Моменти інерції пластинки S
відносно координатних осей Ох
і Оу
виражається інтегралами:
де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z),
розповсюдженим на область V
, називається число:
де (
x i
, y i
, z i
) є
D
V i
(i=1, 2, 3,…n)
, d
– найбільший діаметр комірок D
V i
.
Якщо f(x, y z)
є густиною в точці (x, y z),
то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V
.
10. Якщо область інтегрування V
визначається
Фокуси гіперболи F(c;0)
і F /
(-c;0)
, де с 2
=а 2
+в 2
17. Фокальні радіуси точки (х,у)
гіперболи (2):
19. Графік оберненої пропорційності
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р
:
Фокус параболи: F(p/2, 0)
:рівняння директриси: х=-(р/2)
; фокальний радіус точки (х,у)
параболи: r=x+(p/2)
.
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х
і у
:
Прямокутні координати точки з полярними координатами
23. Параметричні рівняння кола радіуса R
з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t.
( t
- параметр)
f
¢
/
(x 0
)=0
або f
¢
/
(x 0
)
не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x)
в точці x 0
:
1) f
¢
/
(x 0
)=0, f
¢
/
(x 0
-h 1
)f
¢
/
(x 0
+h 2
)<0
при довільних досить малих h 1
>0
і h 2
>0
, або
2) f
¢
/
(x 0
)=0, f
¢¢
/
(x 0
)
¹
0
12. - Графік функції y=f(x)
вгнутий (або випуклий вниз) якщо f
¢¢
/
(x)>0
i випуклий (випуклий вверх), якщо f
¢¢
/
(x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x)
при x=x 0
: f
¢¢
/
(x 0
)=0
або f
¢¢
/
(x 0
)
не існує.
- Достатня умова точки перегину при х=х 0
:
f
¢¢
(x 0
)=0, f
¢¢
/
(x 0
-h 1
)f
''
(x 0
+h 2
)<0
при будь-яких досить малих h 1
>0, h 2
>0.
13. Якщо функція f(x)
неперервна на відрізку [
a
,
b
]
і f(
a
)f(
b
)<0,
то корінь x
рівняння f(x)=0
наближено можна обчислити за формулами:
б) , де f
¢
(
a
)
¹
0; f(
a
)-f
¢
(
a
)>0
(метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х
: dx=
∆
x
. Диференціал функції у=
f(x):dy=y
¢
dx
. Зв’язок приросту ∆
y
функції з диференціалом dy
функції:
∆
y=dy+
a
∆
x
, де a
→0
при ∆
х→0
.
2) da u
=a u
ln a du (a>0); de u
=e u
du
; 8) d(arcsin u)
=
Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=f(x)
( p
i q
- сталі) в залежності від правої частини f(x).
A, B, C
– сталі невизначенні коефіцієнти.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y)
, взятий по кусково гладкій кривій К
: x=x(t)
, y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, дорівнює
Якщо крива К
задана рівнянням у=у(х) (
a
£
x
£
b
)
, то
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К
.
Якщо f(x, y
)
є лінійна густина лінії К
, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К
.
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у)
, взятий по кусково гладкому шляху К
: x=x(t), y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, визначається за формулою:
Якщо шлях К
задано рівнянням у=у(х) (х є
[
a
,
b
]
)
, то
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К
.
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)}
вздовж шляху К
.
3. Якщо виконується умова Х(х, у)
dx+Y(x, y)dy=dU(x, y)
, то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К
і
де (х 1
,у 1
)
– початкова точка шляху і (х 2
,у 2
) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y)
.
графіка функції у=
f(x)
в точці з абсцисою х
.
а) C
¢
=0;
б) (U+V-W)
¢
=U
¢
+V
¢
-W
¢
;
в) (CU)
¢
=CU
¢
;
г) (UV)
¢
=U
¢
V+V
¢
U;
є) ; и) (х
n
)
¢
=
n x n-1
, x
¢
=1;
і) (
sin x
)
¢
=cos x;
ї) (
cos x
)
¢
=-sin x;
й) (
tg x
)
¢
=sec 2
x;
к) (
с
tg
х
)
¢
=-cosec 2
x;
л)м) (а
x
)
¢
=a x
ln a, (e x
)
¢
=e x
.
н) (а
rcsin x
)
¢
=
o) (arccos x)
¢
=
;
п) (
arctg x
)
¢
=
р) (arcctg x)
¢
=
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x 2
)-f(x 1
)=(x 2
-x 1
)f
¢
/
(
x
),
де x
є (х 1
,х 2
).
8. Функія у=
f(x)
зростає, якщо f
¢
/
(x)>0
,і спадає, якщо f
¢
(x)<0
.
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду
або :
f(x)=f(x 0
)+f
¢
/
(x 0
)(x-x 0
)+…+
де f (n)
(x)
існує в деякому повному околі точки х 0
.
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x)
в точці x 0
:
б) метод підстановки: якщо x=
j
(t)
, то
4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x)
- неперервна і F
¢
(x)=f(x)
, то
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х 1
(х)=0
і У 1
(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
де P(x, y)
і Q(x, y)
– щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u
*
x
( u
– нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u
*
v
,
де u
– не нульовий розв¢язок однорідного рівняння
a(x)y
¢
+b(x)y=0
, а v
– нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y
¢¢
=f(x)
, то загальний розв¢язок:
б) якщо y
¢¢
=f(у)
, то загальний інтеграл:
в) якщо y
¢¢
=f(у
¢
)
, то загальний інтеграл рівняння можна
знайти з співвідношення: , де у
¢
=р
.
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у
¢¢
=
f(x, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(х)
, отримуємо:
б) якщо у
¢¢
=
f(у, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(у)
, отримуємо:
6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
де у 1
і у 2
– лінійно незалежні частинні розв¢язки.
7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=f(x)
має вигляд ,
де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z
– частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.
Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=0
( p
i q
- сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k 2
+pk+q=0
.
4) d(sin u)=cos u du
; 10) d(arctg u)=
;
5) d(cos u)= -sin u du
; 11) d(arcctg u)=
15.Малий приріст диференційованої функції:
16. Диференціал другого порядку функції у=
f(x)
, де х
- незалежна змінна (
d 2
x
)=0
:
1. Якщо dy=f(x)dx
, то y=
(незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів
.
де h=(b-a)/n, x 0
=a, x n
=b, y=f(x), y i
=f(x 0
+ih), (i=0,1,2,…,n)
.
13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=
f(x) (f(x)
³
0)
, віссю Ох
і двома вертикалями х=а
, х=
b (a0
)
існує
Тоді: а) Якщо l < 1
, то ряд збігається;
б) Якщо l > 1
, то ряд розбігається, U n
непрямує до 0
.
6. Абсолютна збіжність
. Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца
. Якщо і при , то знакозмінний ряд V 1
-V 2
+V 3
-V 4
+…
- збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а 0
+а 1
х+а 2
х 2
+…
визначається за формулою:, якщо остання має зміст.
20. Робота змінної сили F=F(x)
на ділянці [a,b]
:
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy
, де х=
Re z, y=Im z
- дійсні числа, і 2
=-1.
z 1
=z 2
Û
Re z 1
=Re z 2
, Im z 1
=Im z 2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:
3. Арифметичні дії над комплексними числами z 1
=x 1
+iy 1
, z 2
=x 2
+iy 2
:
Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і
, ú
z
ê
2
=z
.
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
2. Різницею векторів і є вектор , де
3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0
, і протилежний до нього, якщо k < 0
.
4. Вектор і колінеарні, якщо ( k
- скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,( k,l
-скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
Вектори і ортогональні, якщо * = 0
.
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
i, j, k
- одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с
.
VI.
Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у,
z
)
простору Оху
z
є:
x=r x
, y=r y
, z=r z
, де r=
- радіус-вектор точки М
.
2. Довжина та напрям вектора а=
{a x
,a y
,a z
}
визначаються формулами: ;
cos
a
=a x
/a; cos
b
=a y
/a; cos
g
=a z
/a,
де cos
a
, cos
b
, cos
g
- напрямні косинуси вектора а
.
3. Відстань між двома точками M 1
(x 1
,y 1
,z 1
)
i M 2
(x 2
,y 2
,z 2
)
:
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C}
¹
0
, що проходить через точку M 0
(x 0
,y 0
,z 0
)
є N
*
(r-r 0
)=0,
…(1)
де r
- радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z)
і r 0
- радіус-вектор точки М 0
.
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х 0
)+В(у-у 0
)+С(
z-z 0
)=0
або Ax+By+Cz+D=0
(2)
де D= -Ax 0
-By 0
-Cz 0
(згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M 1
(x 1
,y 1
,z 1
)
до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
де r{x,y,z}
- текучий радіус-вектор прямої; r 0
{x 0
,y 0
,z 0
}
- радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p}
¹
0
- напрямний вектор прямої і t
- параметр (-
¥
Реферат: Умова перпендикулярності прямих
Сочинение Про Маму Дубровского
Реферат по теме Государство и его формы как основные конституционно-правовые характеристики
Спбгу Эссе
Курс Лабораторных Работ Access 2007
Реферат: Развитие физической культуры в России. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Вклад А.Л. Чижевского в информационную социодинамику
Реферат: Стоимость бизнеса 2
Курсовая В Электронном Виде
Традиции Диссертация
Доклад: Бринзоламид - новый ингибитор карбоангидразы
Дипломная работа по теме Исследование теоретических основ организации оплаты и стимулирования труда работников предприятия и их Исследование на примере ОАО 'Якутский Гормолзавод' города Якутска
Курсовая работа по теме Дистанційна освіта
Аттестационные Работы Медсестер На Высшую Категорию
Реферат: Причинно-следственные связи (полиэтиологичность) возникновения и развития фоновых и предраковых заболеваний шейки матки
Дипломная работа: Процесс создания линии электропередач этапы факторы и результат
Курсовая работа: Понятие убийства и его виды 2
Дипломная работа по теме Образ семьи в телевизионной рекламе
Реферат: Танки капиталистических стран
Реферат по теме Противостояние Руси латинской агрессии
Внутренняя И Внешняя Политика Путина Реферат
Дипломная работа: Инвестиционный проект по развитию производства гофротары
Реферат: Рациональное природопользование и охрана окружающей среды
Курсовая работа: Зависимость высоты дерева от среднегодовой температуры