Реферат Тригонометрические Функции
Реферат Тригонометрические Функции
Добавить материал
и получить бесплатное свидетельство о публикации
Предметы:
Биология География Директору-завучу Другое ИЗО, МХК Иностранные языки Информатика История Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу
Архив:
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
Содержание
Главная / Математика / Реферат на тему: "Тригонометрические функции в школьном курсе математики"
Введите символы, которые изображены на картинке:
Получить новый код
© 2007-2018 metod-kopilka.ru
При использовании материалов сайта, активная ссылка на источник обязательна!
ФГБОУ ВПО «МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»
Кафедра математики и методики обучения математике
ПО ИЗБРАННЫМ ВОПРОСАМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Тригонометрические функции в школьном курсе математики
Студентка 2 курса группы МДМ-214 ______________________________М.В. Краснова
Введение…………………………………………………………………………...2
Основная часть…………………………………………………………………….4
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале……………………………………………………….4
2. Методика введения определений тригонометрических функций углов……7
Список использованной литературы…………………………………………...25
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности, а особенно при решении тригонометрических задач.
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико-педагогический интерес. В настоящее время изучению тригонометрических задач уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Тригонометрические задачи из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, а именно базовый уровень: найти значение одной тригонометрической функции через другую; профильный уровень: решить тригонометрическое уравнение. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной итоговой аттестационной работы.
Тригонометрические задачи одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях.
Все выше сказанное является актуальностью реферата
Цель реферата – тригонометрические функции в школьном курсе математики
- Дать понятие тригонометрических функций
- Провести анализ тригонометрических функций в школьном курсе математики
Объект реферата : тригонометрические функции
Реферат написан из введения, основных глав, заключения и списка использованной литературы
1. Методика введения понятий синуса, косинуса и тангенса на геометрическом материале
Знакомство с тригонометрическим материалом начинается в курсе геометрии при знакомстве с прямоугольным треугольником. Понятия , и острых углов треугольника вводится для углов от до , как отношение сторон этого треугольника. Предварительно учащиеся должны усвоить названия сторон прямоугольного треугольника: катеты (стороны прямого угла) и гипотенуза (сторона противолежащая прямому углу). Для этого необходимо предложить учащимся прямоугольные треугольники, разнообразные по расположению вершин прямого угла и предложить назвать стороны треугольника.
Назовите катеты в ABC , APN . Назовите гипотенузы в LKM и EFA . Будут ли гипотенузами следующие отрезки: AB , KL , AP , AN , EF , FA в указанных треугольниках и почему?
Следующие выражения "прилежащий" и "противолежащий" отрабатываются на следующем этапе. Для этого необходимо по указанным треугольникам предложить учащимся назвать прилежащие и противолежащие острым углам катеты. Назвать отрезки: KL , PN , EA и попросить учащихся назвать те углы, против которых лежат эти катеты или, которым они прилегают.
Первым вводится понятие угла и доказывается теорема: " Косинус угла зависит от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника". Это определение уже " работает" при доказательстве теоремы Пифагора.
С остальными понятиями учащиеся знакомятся в пункте " Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике". sin , tg
Формируется свойство: синус и тангенс угла так же, как и косинус, зависят от величины угла.
так как косинус зависит только от величины угла, то и синус зависит только от величины угла.
Из определений , и получаем следующие правила:
Катет, противолежащий углу , равен произведению гипотенузы на синус ;
Катет, прилежащий к углу , равен произведению гипотенузы на косинус ;
Катет, противолежащий углу , равен произведению второго катета на тангенс .
По этим правилам можно находить неизвестные элементы в прямоугольном треугольнике.
Перечисленные правила могут быть выведены учащимися самостоятельно. Для этого предлагаются вопросы: В прямоугольном треугольнике MNP , LN = , LM = , гипотенуза MP = m . Найти длины катетов этого треугольника. ( Задача решается по определению).
Раньше по программе тригонометрические функции и соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике изучались в курсе 8 класса.
После введения понятий , и рассматривались решения основных задач, связанных с отысканием длин сторон и величин углов в прямоугольном треугольнике.
Задача №1. Дано: a , b . Требуется найти A , B , c .
Задача №2. Дано: a , c . Требуется найти A , B , b .
Задача №3. Дано: a , A . Требуется найти A , b , c .
Задача №4. Дано: a , B . Требуется найти A , b , c .
Задача №5. Дано: a , A . Требуется найти B , a , b .
По действующей программе эти задачи в курсе 8 класса (бывший 7 класс) заменены такой: В прямоугольном треугольнике даны: гипотенуза c и острый угол . Найдите катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Вводятся основные тригонометрические тождества:
В частности, основное тригонометрическое тождество выводится из формулировки теоремы Пифагора:
Учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами функций острого угла: 1) при возрастании острого угла и возрастают, а - убывает; 2) для любого острого угла : , ; которые формулируются как теоремы. Их доказательство связывается с соотношениями острых углов в прямоугольном треугольнике:
тогда из равенства правых частей получаем:
Вывод свойства возрастания и убывания выглядит так:
Пусть и - острые углы, и , и она пересекает стороны углов и в точках и соответственно.
Так как , то точка лежит между точками и , тогда . А значит, по свойству наклонных, (через сравнение их проекций). Так как , , то косинус убывает. А так как , то синус возрастает.
Расширение области определения тригонометрических функций от до происходит в теме: "Декартовы координаты на плоскости".
Рассмотрим окружность с центром в начале координат произвольного радиуса R . Откладываем в полуплоскость угол . Пусть точка имеет координаты и . , , то из треугольника : , .
Определяются значения и этими формулами для любого угла α (для 0 -исключается).
Можно найти значения этих функций для углов 90 0 , 0 0 , 180 0 . Доказывается, что для любого угла α , 0 0 < α <180 0 , .
Итак, в школьном курсе геометрии понятие тригонометрической функции вводится геометрическими средствами ввиду их большей доступности.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций такова: 1) вначале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника; 2) затем введенные понятия обобщаются для углов от 0 0 до 180 0 ; 3) тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
Первые два этапа реализуются в курсе планиметрии. Геометрический характер определений тригонометрических функций объясняет тот факт, что они составляют единственный вид функций, который начинают изучать не в курсе алгебры, а в курсе геометрии. Для геометрии важен "общефункциональный взгляд" на тригонометрические функции, а их прикладная сторона (решение прямоугольных треугольников, применение некоторых тригонометрических тождеств, теорем cos и sin , решение произвольных треугольников). Поэтому в курсе планиметрии нет термина "тригонометрические функции".
Конкретизировать, например, понятие cos острого угла прямоугольного треугольника, можно по следующей методической схеме:
построить на миллиметровой бумаге прямоугольный треугольник ABC ;
обозначить величину острого угла А буквой α ;
измерить (по клеткам) прилежащий катет АС и гипотенузу АВ;
записать значение cos α (делается следующая запись cos α ≈ в которой для α не указывается его конкретное значение);
измерить транспортиром угол α , найти его величину и записать значение косинуса этого угла данного прямоугольного треугольника.
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37 0 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37 0 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37 0 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37 0 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37 0 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
При решении прямоугольных треугольников необходимо обратить внимание учащегося на тот факт, что с каждой из формул для cos , sin и tg α связывается еще две формулы:
Определение cos , sin , tg углов от 0 0 до 180 0 являются генетическими, т.к. в них указываются построения и вычисления, позволяющие найти значение тригонометрической функции.
В пособие говорится следующее (стр. 132, 1, 2 абзац), обратите внимание учащихся на следующее обстоятельство. Ранее для острых углов были установлены некоторые тригонометрические тождества. "Справедливы ли эти тождества для углов от 0 0 до 180 0 . Справедливы ли прежние доказательства этих тождеств или необходимо привести новые?"
Сравним доказательства основного тригонометрического тождества: для острых углов и для углов от 0 0 до 180 0 :
В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos , tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α . Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.
Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:
в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;
затем введенные понятия обобщаются для углов от до ;
тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:
Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;
Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);
Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;
Утверждение функциональной точки зрения на , , и (трактовка , , и как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);
Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;
Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.
Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:
область значения и - , для и - множество всех действительных чисел
промежутки знакопостоянства: , то значит зависит от знака и т.д.
, и являются нечетными функциями, а является четной функцией
при изменении угла на целое число оборотов значение , , , не изменится (под обратным понимаем поворот на ).
Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е. .
Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.
Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где .
Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:
Определение тригонометрической функции выглядит так:
Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной
Устанавливаются области определения и значения функций, напоминаются свойства:
Через точку проводим прямую, параллельную . Проводим прямую до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции , называемого синусоидой.
Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида , где , значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси .
Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке равно значению синуса в точке . Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние в отрицательном направлении оси . Поэтому график функции также является синусоидой.
Построение графика: проведем касательную к единичной окружности в точке .
Пусть произвольное число, для которого . Тогда точка не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая пересекает в некоторой точке с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая проходит через точки и . Поэтому она имеет уравнение .
Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой находим, что ордината точки равна . Итак, ордината точки пересечения прямых и равна . Поэтому прямую называют линией тангенсов.
Поэтому прямую m называют линией котангенсов.
Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:
Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).
Для функции выбираем отрезок , для функции - и делим их на то же равное число частей.
По окружности находим соответствующее число значений этих функций.
Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.
Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.
Функции тригонометрических функций для углов от до
(прямоугольный треугольник, планиметрия);
Тригонометрические функции для углов от до (тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");
Тригонометрические функции для любого действительного числа.
Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.
К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.
В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .
В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.
В треугольнике ABC известны стороны: AB =4 см; BC =5 см; AC =6 см.
Существуют различные доказательства формулы косинуса суммы двух аргументов.
Для доказательства суммы и разности двух углов используются формула приведения, которые помогают преобразовать функции от аргументов вида:
Проведём радиус , длина которого равна , на угол : и получили радиус , где и на угол и получим радиус , где .
- прямоугольник. Повернём его на угол вокруг точки :
К функциям от углов можно прийти и из геометрических соображений.
Формулы приведения для и выводится из определения этих функций и ранее полученных формул приведения для синуса и косинуса. После этого полученные результаты сводятся в одну таблицу, с помощью которой можно сформулировать мнемоническое правило. Желательно учащимся предложить алгоритм применения формул приведения. Поясним его на примере:
{определяем четность, в которой оканчивается угол - II четверть; определяем знак данной функции в этой четверти – " - ". Изменяется ли название функции – нет, поэтому:} = - cos .
Вернёмся к выводу формулы синуса суммы и разности двух углов.
а затем применяется уже известная формула.
Формулы двойного угла выводятся из формулы синуса и косинуса суммы и разности двух углов, положив .
Сумму и разность тригонометрических функций можно преобразовать в произведение, используя следующий пример:
Замечание: при ознакомлении учащихся с формулами следует добиваться от них проговаривания словесных формулировок доказываемых формул.
Например: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
В курсе алгебры 9 класса изучается тема: "Элементы тригонометрии" (30 часов):
1) радианное измерение углов, sin , cos , tg произвольного угла, их нахождение с помощью калькулятора;
2) основные тригонометрические тождества:
Их применение для вычисления значений sin , cos , tg ;
3) формулы приведения; sin , cos суммы и разности двух углов; sin и cos двойного угла;
4) тождественные преобразования тригонометрических выражений; основная цель – сформировать умения выполнять тождественные преобразования несложных тригонометрических выражений с использованием формул, указанных в программе:
Рассмотрим некоторые примеры преобразований тригонометрических выражений:
Преобразуем левую часть и получим, применив формулы приведения:
8 cos4 +sin8 =2sin8 cos4 +2sin4 cos4 =2cos4 (sin8 +sin4 )=4cos4 sin6 cos2 , и т . д .
Можно применить формулы понижения степени:
{воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение по формуле: } =
а) cos 5 + sin 8 + cos 9 + cos 12 =( cos 5 + cos 12 )+( cos 8 + cos 9 )=
=2cos17/2 cos7/2 +2cos17/2 cos /2=2cos17/2 (cos7/2 +cos /2)=
=4cos17/2 cos2 cos3/2 =4cos3/2 cos2 cos17/2
б ) 3+4cos4 +cos8 =3(1+cos4 )+(cos4 +cos8 )=6cos 2 2 +
+2cos6 cos2 =2 cos2 (3cos2 +cos6 )=2cos2 ((cos2 +|cos6 )+
+2cos2 )=2cos2 (2cos4 cos2 +2cos2 )=4cos 2 2 (cos4 +cos2 )=
Найти sin 4 + cos 4 , если известно, что:
sin 4 +cos 4 =(sin 2 +cos 2 ) 2 -2sin 2 cos 2 =1-2sin 2 cos 2 =
=1-1/2sin 2 2 ={sin4 -cos =1/2 (sin -cos ) 2 =
sin =- cos (2 arctg 4/3)={обозначим arctg 4/3 через y , тогда получим cos 2 y , который нужно преобразовать в тангенс половинного угла. Применим формулу и получим}=
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37 0 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37 0 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37 0 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37 0 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37 0 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15 изд. – М.: Инфа, 2013
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под редакцией А. Н. Колмогорова. – 17-е изд. – М.: Инфа, 2014
3. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин–М.: Инфа, 2014
4. ЕГЭ 2015 Математика .Материалы для подготовки ЕГЭ. alexlarin.net
5. Единый государственный экзамен: математика М.: Инфа, 2014
6. Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные материалы: 2015. – М.:Просвещение, 2015.
7. Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2014 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ: Астрель, 2014
8. В.Б.Некрасов Школьная математика. Пособие для базового и профильного обучения «Авалон» М.: Инфа, 2014
9. А.Л.Семёнов, И.В.Ященко Математика. Типовые тестовые задания. М.: Олган 2013
10. А.Г.Сухарев Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2014
11. Э.Н.Шамсудинова Практикум по решению задач. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы. М.: Инфа, 2014
Определенные трудности в изучение элементов тригонометрии (по Пифагору) порождает теорема: "Косинус угла α зависит только от градусной меры угла". Необходимость изучения данной теоремы можно разъяснить учащемуся так: Пусть требуется на основании определения найти cos 37 0 . Предположим, что это задание выполняют отдельно друг от друга несколько человек. Чтобы найти cos 37 0 , они построят прямоугольный треугольник (каждый свой) с углом в 37 0 , измерят прилежащий катет и гипотенузу, найдут отношение прилежащего катета к гипотенузе. Полученное число и будет являться cos 37 0 . Есть ли гарантия, что каждый ученик получит один и тот же ответ? Этот вопрос возникает по той причине, что каждый строит свой треугольник, получает свои значения длин прилежащего катета и гипотенузы. Так, может быть, и искомое отношение у каждого ученика будет какое-то свое? Понятно, что если бы значение cos 37 0 при переходе от одного прямоугольного треугольника к другому изменялось, то ценность такого понятия в математике была бы не велика. Изучаемая терема является ответом на поставленные вопросы. Она утверждает, что косинус острого угла зависит не от выбора прямоугольного треугольника, а только от меры угла.
Реферат на тему: " Тригонометрические функции в школьном..."
РЕФЕРАТ на тему: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
реферат - Тригонометрические функции .
Реферат : Тригонометрические функции 2 - BestReferat.ru
Тригонометрические функции
Сочинение На Тему Великий Русский Язык
Сочинение Про Любимую Сказку
Сочинение На Тему О Полку
Сочинение Егэ Фипи 2021 Цыбулько
Атлетическая Гимнастика Реферат Кратко