Реферат: Теорема тейлора

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения
Теорема Тейлора
(о разложении функции в степенной ряд).
Функция, аналитическая в области комплексных чисел D
, в окрестности каждой точки z
0
этой области представляется в виде степенного ряда
: (1)
радиус сходимости R
которого не меньше, чем расстояние от точки z
0
до границы области D
. Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.
Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:
где - произвольный контур, принадлежащий области D
и охватывающий точку z
0
(в частности, - окружность ), или по формуле:
Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z
0
до ближайшей особой точки функции.
Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:
( z
принадлежит области комплексных чисел);
( z
принадлежит области комплексных чисел);
( z
принадлежит области комплексных чисел);
( z
принадлежит области комплексных чисел);
( z
принадлежит области комплексных чисел);
Пример 1
. Записать разложение по степеням z
функции f
( z
) = ch z
.
Найдем производные функции: f
(n)
( z
) = ch (n)
z
= ch z
при n= 2 k
, f
(n)
( z
) = ch (n)
z
= sh z
при n
= 2 k
-1.
В данном примере z
0
= 0. По формуле (3) имеем: C n

= 0 при n
= 2 k
; C n

= 1/ n
! при n
= 2 k-
1; .
Так как ch z
- аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R
равен бесконечности. В результате имеем: ( z
принадлежит области действительных чисел).
Пример 2
. Разложить по степеням ( z
-3) функцию f
( z
) = sin z
.
Обозначим z
-3 = t
. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим: sin(3+ t
) = sin3 cos t
+cos3 sin t
.
Используя основные разложения, имеем:
Пример 3
. Разложить по степеням z
функцию
Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби:
Раскладываем элементарные дроби по степеням z
:
Для исходной дроби получаем разложение:
Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).
Функция f
( z
), аналитическая в кольце r
< | z
- z
0
| < R
, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство: (1)
Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2) где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z
0
; в частности, - окружность
Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f
( z
).
Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана: или
Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши: где r - радиус контура интегрирования в формуле (2).
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f
( z
) - его суммы.
Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z
0
( r
= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки ( z
0
= 0, ).
При построении разложений в ряд Лорана
используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.
Пример 1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z
.
Решение.
Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z
1
= -1 и z
2
= 3. Запишем функцию в виде
Кольца аналитичности | z
| < 1, 1 < | z
| < 3, | z
| > 3.
Раскладываем дробь на элементарные дроби:
Таким образом, в круге | z
| < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:
Пример 2. Разложить функцию f
( z
) = z
3
· e
1/ z

в окрестности точки z
0
= 0.
Решение.
Из основного разложения получаем
Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z
0
(точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида: где - контур, принадлежащий окрестности точки z
0
и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z
0
при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.
Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С
-1
при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/( z
- z
0
) для z
0
, принадлежащей области комплексных чисел:
ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.
Если конечная особая точка z
0
является устранимой особой точкой функции f
( z
), то
ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.
Если z
0
- полюс порядка n
функции f
( z
), z
0
принадлежит области комплексных чисел, то
ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.
Если z
0
- простой полюс функции , где аналитические функции в точке z
0
и , то
ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.
Если z
0
- существенно особая точка функции f
( z
), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С
-1
- коэффициент в разложении f
( z
) в ряд Лорана в окрестности z
0
.
ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.
Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z 2
-2z-3) в точке z = 3.
Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:
Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.
Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,
т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно,
Так как то z
= 0 для f
( z
) - полюс второго порядка. Следовательно,
Пример 4
. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.
В точках данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку
Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z
= 1:
Из этого разложения следует, что z
= 1 является существенной особой точкой и С
-1
= 3/2, т.е.
Теорема (Основная теорема о вычетах).
Если функция f
( z
- аналитична в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство где D
- односвязная область в комплексной плоскости, - граница D
, - вычет функции f
( z
) в точке z k

.
ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах.
Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp( z
) - i =
0, т.е. точки
Кругу принадлежит только одна из этих точек, точка
Эта точка - простой полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.
Вычислим вычет в простом полюсе f
( z
):
Решение.
Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z
= 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования.
Вычислим вычет в существенно особой точке функции f
( z
): поскольку
Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z
4
+ 1 =
0, т.е. точки
Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу принадлежат только две из них: и
Вычислим вычеты f
( z
) в этих точках:

Название: Теорема тейлора
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Добавлен 15:12:41 06 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 110
Комментариев: 9
Оценило: 1 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathcad
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Mathematica
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Ребятки, кто на FAST-REFERAT.RU будет заказывать работу до 26го мая - вводите промокод iphone, и тогда будете учавствовать в розыгрыше iphone xs)) сам только что узнал, что у них такие акции бывают (п.с. кстати не удивляйтесь что вас перекидывает на сайт с другим названием, так и должно быть)
Мне с моими работами постоянно помогают на FAST-REFERAT.RU - можете просто зайти узнать стоимость, никто вас ни к чему не обязывает, там впринципе всё могут сделать, вне зависимости от уровня сложности) у меня просто парень электронщик там какой то, тоже там бывает заказывает))
Спасибо, Оксаночка, за совет))) Заказал курсач, отчет по практике, 2 реферата и дипломную на REFERAT.GQ , все сдал на отлично, и нервы не пришлось тратить)
Хватит париться. На сайте REFERAT.GQ вам сделают любой реферат, курсовую или дипломную. Сам пользуюсь, и вам советую.
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Теорема тейлора
Дипломная работа: Борьба с парафином в условиях НГДУ "Лениногорскнефть"
Дипломная работа по теме Исследование финансового состояния предприятия ОАО 'Златоустовский металлургический завод'
Реферат по теме Место религий в системе отношений человека и окружающего мира
Реферат: Билингвизм. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Расцвет естествознания в XIX веке
Реферат: Видатні мікробіологи 2
Аттестационная Работа Врача Кдл На Категорию
Эссе На Тему Мой Любимый Роман
Эссе На Тему Совесть
Отчет по практике по теме Характеристика предприятия 'Соседдушка'
Курсовая работа: Косвенные налоги Украины - основной источник налоговых поступлений бюджета. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа По Теме Фольклор 5 Класс
Контрольная работа: Расчет стального трубопровода для подачи кислорода в цех
Энергетическая Политика Сша Реферат
Реферат: Маркетинговое информационное исследование. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа На Тему Римское Частное Право
Сочинение По Картине Исаака Левитана Золотая Осень
Курсовая работа: Особенности рынка земли и проблемы его регулирования
Реферат по теме Сравнительный анализ картин Н.Н. Ге 'Христос в Гефсиманском саду' и В.Г. Перова 'Христос в Гефсиманском саду'
Курсовая работа: Методы финансирования расходов и стабилизация фискальной политики России. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Николай Второй - последний российский самодержец (виновник или жертва)
Курсовая работа: Особенности формирования коммуникативной функции речи у детей 5-6 лет с общим недоразвитием речи
Реферат: Этногенез и биосфера Земли