Реферат: Тема 3: весовые функции

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Свобода и ограничение есть два аспекта необходимости.
Антуан де Сент-Экзюпери. Писатель и летчик Франции, ХХ в.
Берешь топор, обрубаешь себе палец, и начинаешь вибрировать. Берешь сигнал, обрубаешь ему хвост, и он тоже начинает вибрировать. А весовая функция, это обезболивающий укол. Вибрацию снимает, но палец не восстанавливает.
Валерий Самойлин. Геофизик и альпинист России, ХХ в.
3.1. Явление Гиббса. Сущность явления Гиббса. Параметры эффекта. Последствия для практики.
3.2. Весовые функции. Нейтрализация явления Гиббса. Основные весовые функции.
Большинство методов анализа и обработки данных представляют собой или имеют в своем составе операцию свертки множества данных s(k) с функцией оператора свертки h(n). Как множество данных s(k), так и оператор h(n), выполняющий определенную задачу обработки данных и реализующий определенную частотную передаточную функцию системы (фильтра), могут быть бесконечно большими. Практика цифровой обработки имеет дело только с ограниченными множествами данных (k = 0,1,2,…,K) и коэффициентов оператора (n = 0,1,2,…,N или n = -N,…,1,0,1,…,N для двусторонних операторов). В общем случае, эти ограниченные множества "вырезаются" из бесконечных множеств s(k) и h(n), что равносильно умножению этих множеств на прямоугольную функцию с единичным амплитудным значением, которую называют естественным временным окном или естественной весовой функцией. Учитывая, что произведение функций отображается в спектральной области сверткой их фурье-образов, это может весьма существенно сказаться как на спектральных характеристиках функций, так и на результатах их последующих преобразований и обработки. Основное назначение рассматриваемых в данной теме весовых функций – сведение к минимуму нежелательных эффектов усечения функций.
Чаще всего с изменением частотных характеристик функций приходится сталкиваться при усечении операторов фильтров. На примере усечения операторов и рассмотрим характер происходящих изменений.
При расчетах фильтров, как правило, задается определенная передаточная характеристика H(w) фильтра и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим даже только по значимым значениям. Усечение может рассматриваться, как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N+1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию:
h n
= h(n)·П N
(n), П N
(n) = 1 при |n| £ N,
Функция h(n) оператора фильтра, в пределе бесконечная, обуславливает определенную частотную передаточную характеристику фильтра H(w). Полному оператору h(n) соответствует исходная частотная характеристика H(w):
Сущность явления Гиббса.


Функции во временном окне селекции П N
(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция, которая в определенной степени должна отличаться от функции H(w). Очевидно, что при усечении оператора h(n), а значит и ряда Фурье (3.1.1), до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:
при этом сходимость суммы остающихся членов ряда H N
(w) к исходной передаточной функции H(w) ухудшается и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) в передаточных функциях:
- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (3.1.2);
- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (3.1.1).
Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса. Рассмотрим явление Гиббса более подробно на примере разложения в ряд Фурье частотной функции единичного скачка G(w), которая является Фурье-образом какой-то дискретной временной функции b n
. Уравнение функции единичного скачка:
G(w) = -0.5 при -p £ w < 0, (3.1.3)
Функция (3.1.3) имеет разрыв величиной 1 в точке w = 0 и, в силу дискретности временной функции и периодичности ее спектра, в точках p, 2p и т.д. Поскольку функция G(w) является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда определяются выражением:
b n
= G(w) sin(nw) dw = sin(nw) dw.
Рис. 3.1.1. Значения коэффициентов b n
.
Как видно на рис. 3.1.1, ряд коэффициентов b n
затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции G(w):
G(w) = (2/p)[sin w+ (1/3)·sin 3w+ (1/5)·sin 5w+....].
G(w) = sin[(2n+1)w]/(2n+1). (3.1.4)
Если мы будем ограничивать количество коэффициентов b n
, т.е. ограничивать значение N ряда Фурье функции G(w), то суммирование в (3.1.4) будет осуществляться не до ∞, а до значения N. Графики частичных сумм ряда (3.1.4) в сопоставлении с исходной функцией приведены на рис. 3.1.2. Они наглядно показывают сущность явления Гиббса.
При усечении рядов Фурье определенное искажение функции, разложенной в ряд Фурье, существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.
Параметры эффекта.


Ряд (3.1.4) при усечении можно записать в следующем виде:
G N
(w) = [ cos((2n+1)w) dw] = [ cos((2n+1)w)] dw.
Сумма косинусного ряда равна sin[2(N+1)w]/(2sin w). Отсюда:
Для определения местоположения максимумов и минимумов осцилляций функции (3.1.5) приравняем к нулю ее первую производную (подинтегральную функцию), при этом:
Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции приходится на точки w k
=1
= ±p/(2(N+1)), вторых (противоположных по полярности) - на точки w k
=2
= ±p/(N+1). Период пульсаций равен 2w k
=1
= p/(N+1) = Dw, т.е. интервалу дискретизации спектра при равном количестве отсчетов оператора фильтра и его спектра. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции G(w) на произвольной частоте главного частотного диапазона значения w k
являются значениями Dw k
относительно частоты скачка. Амплитудные значения функции в точках w 1
и w 2
(при подстановках w 1
и w 2
верхним пределом в (3.1.5)) практически не зависят от количества членов ряда N и равны:
G N
(w 1
) » 0.5+0.09, G N
(w 2
) » 0.5-0.05.
Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.
Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна p/(N+1), а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)p/(N+1). Это явление типично для всех функций с разрывом.
Можно рассмотреть это явление и с других позиций. Как известно, произведение функций отображается в частотном представлении сверткой их фурье-образов. Отсюда:
h n
= h(n)·П N
(n) - H(w) *
П N
(w) = H N
(w). (3.1.6)
Правая часть выражения (3.1.6) и отражает математическую сущность явления Гиббса. Ограничение массива функции определенным количеством членов (умножением на П-окно, прямоугольную селектирующую функцию) отображается сверткой частотной характеристики функции с частотной характеристикой селектирующей функции (которую часто называют свертывающей функцией). Частотная характеристика прямоугольной функции хорошо известна, как функция отсчетов sin(x)/x, x = w(2N+1)/2, и для П-импульса длиной 2N+1 приведена на рис. 3.1.3 (для ряда значений N). Чем больше N, тем уже центральный пик функции и, соответственно, будет меньше ширина переходной зоны, которая формируется на разрыве вместо скачка функции. Амплитуда самих осцилляций (по номеру от центрального пика) остается без изменений. Свертка этой частотной функции (Фурье-образа селектирующей функции) с частотной характеристикой усекаемых функций и порождает явление Гиббса на резких скачках частотных характеристик.
Рис. 3.1.3. Свертывающие (частотные) весовые функции.
Последствия для практики.


При расчетах фильтров и усечении размеров их операторов явление Гиббса является весьма нежелательным, т.к. приводит к искажению формы передаточных характеристик фильтров. В качестве примера рассмотрим явление Гиббса применительно к фильтру низких частот.
Попытаемся реализовать передаточную функцию фильтра следующего вида:
в главном частотном диапазоне от -0.5 до 0.5. Функция четная, коэффициенты ряда Фурье представлены только косинусными членами:
a n
= 4 cos(2pfn) df = 2 sin(0.4pn)/(pn).
H(f) = 0.4 + 2 sin(0.4pn) cos(2pfn)/(pn). (3.1.7)
Результат усечения ряда Фурье (3.1.7) до N = 7 приведен на рис. 3.1.4.
Рис. 3.1.4. Передаточные функции ФНЧ.
Как видно на рисунке, явление Гиббса существенно искажает передаточную функцию фильтра. Однако при реализации фильтров ограничение длины операторов фильтров является правилом их конструирования исходя из чисто практических соображений реализации.
Явление Гиббса имеет место при усечении любых числовых массивов. При обработке геофизических данных операция усечения числовых массивов, как одномерных, так и многомерных, относится к числу типовых. Вырезаются из профилей и площадей участки съемки с аномальными данными для их более детальной обработки и интерпретации. При анализе усекаются корреляционные функции, и соответственно свертываются с частотным образом весового окна вычисляемые спектры мощности, и пр. Во всех этих случаях мы можем столкнуться как с явлением Гиббса, так и с другими последствиями свертки функций в частотной области, в частности с цикличностью свертки, с определенным сглаживанием спектров усекаемых данных, которое может быть и нежелательным (снижение разрешающей способности), и полезным (повышение устойчивости спектров). В самих усекаемых данных мы не видим этих явлений, т.к. они проявляется в изменении их частотного образа, но при обработке данных, основной целью которой, как правило, и является изменение частотных соотношений в сигналах, последствия этих явлений могут сказаться самым неожиданным образом.
На рис. 3.1.5 показан другой пример искажений сигнала при усечении. Исходный аналоговый сигнал был вырезан из массива данных на интервале k = {0..60}, дискретизирован и переведен в цифровой форме в спектральную область для обработки. Дискретизация сигнала вызвала периодизацию его спектра, а дискретизация спектра вызвала периодизацию его динамического представления. Но на точках k=0 и k=60 в периодическом повторении исходного сигнала при усечении образовался скачок функции с бесконечным частотным спектром, а главный диапазон спектра дискретизированного сигнала ограничен интервалом его дискретизации (w N
=1/2Dt). Следовательно, спектр сигнала является искаженным за счет наложения спектров боковых периодов, а при восстановлении аналогового сигнала по спектру главного диапазона он восстанавливается из усеченного спектра. Это приводит к появлению явления Гиббса на обоих концах вырезанного сигнала (за счет периодизации сигнала), что наглядно видно на рис. 3.1.5.
Практически это означает, что при частотной обработке вырезанного сигнала будет обрабатываться не спектр исходного сигнала, а спектр, которому соответствует сигнал, восстанавливаемый по данному спектру с наложенным явлением Гиббса.
Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области (и любой другой области аргументов) является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала. Что последнее возможно, показывает, например, даже такая простая модификация прямоугольной функции, как уменьшение в два раза значений ее крайних членов. Фурье-образ модифицированной П-функции уже рассматривался нами в составе сглаживающих фильтров МНК 1-го порядка и отличается от обычной П-функции с тем же размером окна выходом в ноль на частоте Найквиста и несколько меньшей амплитудой осцилляций при небольшом расширении главного максимума. В силу тождественности всех свойств прямого и обратного преобразований Фурье все ниже рассматриваемое действительно и для нейтрализации явлений Гиббса во временной области при усечениях спектров.
Нейтрализация явления Гиббса


в частотной области .
Рассмотрение продолжим с формулы (3.1.2) при усечении произвольного оператора фильтра h(n) прямоугольным селектирующим окном П N
(n). Период осцилляций суммы усеченного ряда Фурье (3.1.2) равен периоду последнего сохраненного либо первого отброшенного члена ряда. С учетом этого фактора осцилляции частотной характеристики могут быть существенно сглажены путем усреднения по длине периода осцилляций в единицах частоты, т.е. при нормированной свертке с П r
(w) - импульсом, длина которого равна периоду осцилляций r = 2p/(N+1). Эта свертка отобразится во временной области умножением коэффициентов фильтра h(n) на множители, которые являются коэффициентами преобразования Фурье частотной П-образной сглаживающей функции П r
(w):
H' N
(w) = H N
(w) *
П r
(w) - h n
s N
(n) = h(n)П N
(n)s N
(n),
p(n) = П N
(n)s N
(n) = sinс(pn/(N+1)), |n| £ N. (3.2.1)
Эта операция носит название сглаживания Ланцоша. Произведение П N
(n)s N
(n) ≡ s N
(n) представляет собой новое весовое окно селекции p(n) взамен прямоугольного окна. Функцию s N
(n) обычно называют временной весовой функцией (окном). Вид и частотная характеристика весового окна Ланцоша в сопоставлении с прямоугольным окном приведены на рис. 3.2.1.
Рис. 3.2.1. Весовая функция Ланцоша.
Как видно на рисунке, частотная характеристика весовой функции Ланцоша по сравнению с П-образной функцией имеет почти в 4 раза меньшую амплитуду осцилляций, но при этом ширина главного максимума увеличилась примерно на четверть. Отметим, однако, что если амплитуда осцилляций (в единицах амплитуды главного максимума) определяется выбранным типом весовой функции, то ширина главного максимума, которой определяется ширина переходной зоны (вместо скачка функции) зависит от размеров весового окна и соответственно может изменяться под поставленные условия (уменьшаться увеличением размера 2N+1 весового окна).
Основные весовые функции.


В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме, и при этом с минимальными размерами весового окна.
В таблицах 3.2.1 и 3.2.2 приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных и часто используемых весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами (как и в (3.2.1)), что выполняется без дальнейших пояснений. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической, а не в дискретной форме, с временным окном 2t, симметричным относительно нуля (т.е. 0 t). При переходе к дискретной форме окно 2t заменяется окном 2N+1, а значения t - номерами отсчетов n (t = nDt). Следует заметить, что большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения, т.е. фактическое окно усечения данных занижается на 2 точки. Последнее исключается, если принять 2t = (2N+3)Dt.
t·B(w) *
П(w), П(w) = 1 при |w|Реферат: Тема 3: весовые функции
Контрольная Работа Тип Членистоногие
Доклад по теме Когда контрацепции еще не было
Аудит Бухгалтерской Отчетности Курсовая
Курсовая работа по теме Тромбоэмболия легочной артерии
Сочинение На Тему Характеристика Бедной Лизы
Реферат: About Bob Kaufman Essay Research Paper Kathryne
Вербальное Общение Реферат
Сочинение Про Мечту По Русскому Языку
Реферат по теме Финансовое оздоровление предприятия на примере ОАО "У-УППО"
Дипломная работа по теме Совершенствование системы стимулирования и оплаты труда персонала на ООО 'ДОМЗ'
Реферат по теме Современная Беларусь
Контрольная работа по теме Система менеджмента (на примере ОАО 'Сервис-Модерн')
Реферат: Философская составляющая дзюдо Кодокан в понимании его основателя. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Marriage Essay Research Paper The Cause For
Как Выглядит Билет Декабрьского Сочинения
Дипломная работа: Система договоров в гражданском праве России
Реферат: Учитель фізичної культури як дослідник
Методы Исследования Глаза И Его Придатков Реферат
Методичка На Тему Методические Рекомендации К Определению И Выведению Гемограммы У Животных
Контрольная работа: Герои и труженики тыла. Рубцовчане в ходе Великой Отечественной войны
Статья: Является ли эволюционная эпистемология новой научной парадигмой?
Реферат: Confucianism Essay Research Paper What is Confucianism
Курсовая работа: Инновационная деятельность на сельхозпредприятии