Реферат: Степенные ряды

⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля


Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1.1
. Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
.(1.1)
Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами
степенного ряда; а
– некоторое постоянное число, х
– переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.
При степенной ряд (1.1) принимает вид
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности
, ряд (1.2) – рядом по степеням
х
.
Если переменной х
придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2
. Областью сходимости степенного ряда

называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:

где
R
– некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R
называется радиусом сходимости

, интервал – интервалом сходимости

степенного ряда (1.2).
Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .
Если , то интервал сходимости вырождается в точку .
Замечание:

если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R
и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .
Радиус сходимости R
степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .
Пример 1.1.
Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
который расходится как гармонический ряд.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1.
Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2.
Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

Свойство 3.
Неопределенный интеграл от функции
для всех
может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R
не меняется, однако его сходимость на концах интервала
может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1.
Рассмотрим степенной ряд
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций


Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1.
Рядом Тейлора

функции в точке называется степенной ряд

В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена

:
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции
в окрестности точки совпадает с функцией
?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции
сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции
к этой функции.
если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена


По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении .
Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
3. . Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом .
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
– биномиальный ряд
( – любое действительное число).
Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона
:
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х
:
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

Название: Степенные ряды
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 03:29:54 05 июня 2010 Похожие работы
Просмотров: 3341
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Степенные ряды
Реферат: Художественная деталь, ее роль и значение в произведениях прозы Н. В. Гоголя, И. С. Тургенева, Ф. М. Достоевского
Жизнь Как Звено В Бытии Мира Реферат
Контрольная работа: Основы психологии
Контрольная Работа Иррациональные Уравнения И Неравенства
Реферат: Сладкая жизнь Сибири
Реферат: Steroids 2 Essay Research Paper SteroidsSteroids have
Реферат: Геософия в трудах евразийцев. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Ревматическая болезнь сердца и ревматическая лихорадка у больных старших возрастных групп
Реферат: Формирование маркетинговых стратегий предприятия
Вишневый Сад Сочинение Рассуждение
Курсовая На Тему Расчеты
Курсовая работа: Бизнес-план предприятия общественного питания
Реферат: Рахманинов Сергей Васильевич 1873 - 1943
Курсовая работа по теме Сеута и Мелилья в испано-марокканских отношениях в начале XXI века
Курсовая работа по теме Разработка целевого рынка теней для век
Реферат: Jimi Hendrix Reflections Of The Man Essay
Равноускоренное Движение Законы Ньютона Контрольная Работа
Договор ренты
Доклад: Вьетнамский синдром во внешней политике США. Краткий обзор
Лабораторная Работа 12 По Биологии
Сочинение: Невидимая партия
Курсовая работа: Нагляд прокурора за виконанням законів органами дізнання і досудового слідства
Контрольная работа: Первая медицинская помощь при травмах