Реферат: Системы базисных функций

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Наиболее естественной формой представления сигнала является задание закона его изменения в функции времени – X(t)
. Однако для анализа и синтеза систем и сигналов могут быть использованы различные формы их представления. Любой сигнал можно представить в виде суммы некоторых элементарных сигналов. Такое представление возможно при разложении временной функции в ряд по ортогональным (базисным) функциям, что равносильно представлению сигнала в различных системах координат.
В общем виде любой сигнал может быть представлен в виде ряда:
где j
k

(t) –
представляет собой единичные орты, а а к

– проекции функций на соответствующие оси или спектральные коэффициенты, которые определяются по формуле
Система функций {
j
k

(t)}
называется базисной, а представление сигнала в форме (1) его разложением по системам базисных функций (СБФ). Для выбранной СБФ сигнал полностью определяется набором (вектором) спектральных коэффициентов {a k
}
, т.е. его спектром.
СБФ должна удовлетворять условиям ортогональности и ортонормированности.
Условия ортогональности

двух базисных функций заключаются в равенстве нулю их взаимных мощностей
Условия ортонормированности

заключаются в равенстве единице мощности всех базисных функций
Любую СБФ можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.
Существует бесконечное множество СБФ, при этом различным СБФ соответствует различная физическая интерпретация сигнала, а значит и практическая реализация. Выбор СБФ зависит от специфики решаемой задачи (например: анализ фильтров, оценка точности, быстродействия и т.д.), используемых методов (временные, частотные, операторные и т.д.) и других факторов.
Наиболее часто используются следующие СБФ:
– Системы единичных непрерывных и дискретных функций.
– Системы тригонометрических базисных функций:
Эти функции широко используются при частотном представлении сигналов в рядах Фурье.
– Системы комплексных экспоненциальных функций- . Эти функции используются в преобразованиях Фурье и Лапласа.
– Системы комплексных дискретных экспоненциальных, базисных функций- . Эти функции используются в дискретных преобразованиях Фурье и Лапласа, быстром преобразовании Фурье.
– Полиномиальные СБФ, использующие полиномы Чебышева и Лежандра. Эти функции часто используются для анализа и синтеза цифровых фильтров.
– Двоично – ортогональные СБФ Уолша, Хаара, Радемахера. Эти функции широко используются в вычислительной технике для анализа и синтеза цифровых автоматов.
Базисные функции составляют ядро различных интегральных преобразований, используемых для исследования сигналов и систем (Фурье, Лапласа, Карсона, Хэвисайда, Уолша, Хаара и др.), которые имеют следующую структуру записи:
При этом, различным СБФ соответствует различная интерпретация сигналов.
1. Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье

Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть разложена в ряд Фурье:
где – постоянная составляющая функции f(t);

– круговая частота основной (первой) гармоники;
- амплитуда, частота и начальная фаза к
– той гармоники;
Ряд Фурье можно представить в комплексной форме:
Пример 1.
Дана периодическая последовательность импульсов, приведенная на рис. 1. Найти сумму ряда.
Определим выражение для спектральных коэффициентов
Периодическую последовательность импульсов можно представить в виде суммы ряда:
Для апериодических процессов вместо разложения в ряд Фурье используется разложение в интеграл Фурье при выполнении следующих условий: функция f(t)
удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой т.е.
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье имеют вид:
Пример 2.
Определим спектральную плотность для одиночного прямоугольного импульса, приведенного на рис. 2.
Одиночный прямоугольный импульс может быть представлен следующим выражением:
Спектральная плотность для одиночного прямоугольного импульса имеет вид:
Пример
Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:
Спектральная плотность при этом равна:
Проверка:
Выполним обратное преобразование
Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
где s k
– значения полюсов; n
– количество полюсов; m
– кратность полюсов.
При этом, корреляционная функция равна
В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности
Ряд Фурье может быть представлен в виде
где nT (
или n) –
дискретное время; (2
p
/N) k –
круговая частота w
.
Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:
где N
– количество отсчетов N=T/
D
t+1; T
- интервал времени; D
t
– шаг дискретности; n
– номер отсчета.
Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:
Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:
где X
– вектор отсчетов сигнала; x –
вектор спектральных коэффициентов; W
– квадратичная матрица (N
´
N)
отсчетов базисных функций; W -1

– обратная W
;
При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N 2

умножений и N 2

сложений.
Если число точек N
небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n
или по частоте – k
.
При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.
Пример 4
. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна
Решение:
Алгоритм решения задачи можно представить в виде
1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию
2. Определим дискретную корреляционную функцию
Определим дискретную спектральную плотность
4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z
‑преобразования, выполнив подстановку z = e pT

.
Проверка:
Определим дискретную корреляционную функцию
Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – z
k

, их количество и кратность – m

Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде
При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.
Области применения дискретного преобразования Фурье:
дискретный анализ речевых сигналов;
исследование дискретных систем управления.
1.Шеннон К. Математическая теория связи. – В сб. «Работы по теории информации и кибернетике». М., «Иностранная литература», 1963.
2.Фано К. Передача информации. Статистическая теория связи. М., «Мир», 1965.
3.Балюкевич Э.Л. Элементы теории кодирования. М., МЭСИ, 1976.
4.Стратонович Р.Л. Теория информации. М., «Советское радио», 1975.
5.Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. Киев, «Вища школа», 1974.
6.Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. –Харьков: ХПУ, 2000.
7.Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.
8.Гойфман Э.Ш., Лосев Ю.И. Передача информации в АСУ. – М.: Связь, 1976.

Название: Системы базисных функций
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат
Добавлен 12:19:17 16 июля 2009 Похожие работы
Просмотров: 197
Комментариев: 15
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Системы базисных функций
Дипломная работа по теме Экономическая сущность полноценных денег
Сочинение Общее Дело По Тексту Гайдара
Контрольная работа по теме Советское общество в годы застоя
Реферат: Diabetes Essay Research Paper Diabetes Types 1
Реферат: Курсовая работа по органической химии
Доклад: Понятие как форма мышления
Реферат по теме Вызов удаленных процедур (RPC)
Система питания дизеля
Способы Минимизации Убытков В Краткосрочном Периоде Реферат
Реферат: Техническое образование и инженерная специальность в США
Дипломная работа по теме Таможенно-банковский валютный контроль во внешнеторговом обороте
Дипломная работа по теме Содержание и методическое обеспечение формирования языковой компетенции учащихся средней школы
Курсовая работа по теме Оценка рыночной стоимости объекта недвижимости
Сочинение На Самый Счастливый День
Сочинения Учащихся Начальной Школы
Реферат: Орграфы, теория и применение
Четвертый Крестовый Поход Реферат
Написать Эссе На Тему Наследники Тюркской Империи
Реферат по теме Религия Древней Греции
Реферат: отчета о научно-исследовательской работе по проекту рнп 1 2234 «Социальная коммуникация и социальная инновация в создании основ общества знания» ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008гг.)
Реферат: Русские монархи
Курсовая работа: Имидж деловой женщины
Реферат: Обострение хронического эндометрита и двустороннего сальпингоофорита с местной реакцией