Реферат: Шпоры по математическому анализу

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

1.
Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n³2) функции у=
f
(х)
называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.
Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=
f
(х)
называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается d n
y
)По определению d n
y= d(d n-1
y)
.
Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, d n
y=f (n)
(х)dx n
,
в предположении, что n-ая производная f (n)
(х)
сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так
Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f
(х)=
f(a)=f(b)
, то f'(c)=0
и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).
Пусть теперь функция f(x)
не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х 1

и х 2

на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m
и наибольшее М
значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b)
вытекало бы, что m
=М
, следовательно, функция f
(х)
сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.
Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х 1

, т.е. a<
х 1

0), а после точки х 0

убывает (т.е. f'
(х)
<0). Очевидно, что в точке х 0

имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х 0

f'
(х)
>0 при х< х 0

и f'
(х)
<0 при х > х 0

, то в точке х 0

имеется максимум.
Если в достаточно малой окрестности точки х 0

f'
(х)
<0 при х< х 0

и f'
(х)
>0 при х > х 0

, то в точке х 0

имеется минимум.
2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х 0

, в том числе и в самой точке х 0

, существует первая производная f'
(х).
Кроме того, в точке х 0

существует вторая производная f''(
х 0

).
Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(
х 0

)=0.
Посмотрим теперь на f''(
х
)
как на первую производную от функции
Допустим, что f''(
х 0

)
>0. Это означает, что f'
(х)
возрастает при переходе значений х
<
х 0

к значениям х
>
х 0

. Но f'(
х 0

)=0,
поэтому возрастание f'(
х 0

)<0,
при х
<
х 0

и f'(
х 0

)>0,
при х
>
х 0

. (для значений х из достаточно малой окрестности х 0

). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х 0

. Аналогичное рассуждение при f''(
х 0

)
<0 приводит к существованию максимума в точке х 0

. Вывод: если f'(
х 0

)=0,
а f''(
х 0

)
<0, то функция y=f(x)
имеет локальный максимум в точке х 0

. Если f'(
х 0

)=0,
а f''(
х 0

)
>0, то функция y=f(x)
имеет локальный минимум в точке х 0
.

Этой формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х 0
существует непрерывная производная f (n+1)
(x)
, и значения х принадлежат этой окрестности. Через R n
обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:
Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х 0
и х
.
При х 0
=0
формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:
8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=
f
(х)
, непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума (
x 2
, x 3
, x 4
, x 5
,)
, либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х 1
,
x 2
, x 3
, x 4
, x 5
,)
.
Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х 1
, где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.
9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.
Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.
Ищутся конечные значения х=а, при которых
Существование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.
Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ
сохраняет постоянное значение, α=φ
. Из ∆
KLM
KM=MLּ
cos α.
Поэтому KM
и
ML
стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b)
, следовательно (1):
Преобразуем это равенство, вынеся х за скобки:
При x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда:
Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)
Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b
была асимтотой кривой y=f(x).
В частности, при k=0
асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).
13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(
x )
называется первообразной для функции f(x)
на интервале (
a,b)
, если на этом интервале существует производная F'(x)
и F'(x)=f(x).

Теорема: Если F 1
(x)
и F 2
(x)
- первообразные для одной и той же функции f(x)
, то их разность есть величина постоянная.
Докозательство: По условию F' 1
(x)=F' 2
(x)=f(x)
обозначим: Ф
(x)= F 1
(x)
-
F 2
(x)
. Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F 1
(x)
и F 2
(x)
. Для любых х 1
, x 2
,Î (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х 1

)
-Ф(х 2

)
=Ф
'(c)(b-a)
. но Ф
'(c)=0
,
т.к. сÎ(a,b), следовательно Ф(х 1

)=
Ф(х 2

)
. Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F 1
(x)
-
F 2
(x)
=С.
Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.
14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы
.
Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫
f(x)dx
, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.
И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx
. С другой стороны, ∫
F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C
.
Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C
, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:
1. ∫ А
f(x)dx = A ∫ f(x)dx
(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫
[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
(интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.

Исследование функции y=f(x)
проводится по плану:
2. Вычисляются нули функции y=f(x)
,
т.е. значения х 1
,
x 2
…
, при которых f(x 1
)=0
, f(x 2
)=0
…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0
и
f(x)<0
.
3. вычисляются производная f'(x)
и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0
, функция возрастает, где f'(x)<0
- убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.
4. Вычисляется вторая производная f''(x) и с ее помощью находятся промежутки выпуклости (f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0) и точка перегиба (f''(x)=0).
5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).
21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ(a,b), что справедливо равенство:
Доказательство: Проведем его для случая aa). Если существует конечный предел
Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:
Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:
Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (
x 0
, у 0
).
Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.
Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y 0
) имеет экстремум в точке x 0
,
т.к. неравенство f
(х 0

+
∆х,
y
0

+∆у)≤
f
(х 0
,
y
0

),
иначе ∆
f≤0

Или ∆
f≥0
должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0.Поэтому, d/dx∙f(x,y 0
)=0 при х=х 0
, а это то же самое, что f' x

(х 0
,
y
0

)=0.
Аналогично устанавливается, что f' у

(х 0
,
y
0

)=0.
Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.
31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х 0
и у к у 0
, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х 0
│< δ, │ y - y 0
│< δ( за исключением, быть может, точки (х 0
,
y
0

)
), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение
Заметим, что точка (х 0
,
y
0

)
может не принадлежать ООФ f(x,y).
Пусть функция f(x,y) определена в области D.
Определение. Если выполняются три условия:
то функция называется непрерывной в точке (х 0
,
y
0

)
.
Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х 0
,
y
0

)
, а саму точку называют точкой разрыва.
Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.
Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х 0
,
y
0

)
, если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).
42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.

В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.
Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:
В точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),
Применим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):
Умножим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):
Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):
В этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и l. Из системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается l, то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод Лагранжа, который состоит в следующем.
Составляется вспомогательная функция
F (x,y,
l
) = f(x,y) +
l
j
(x,y)
(5), называемая функцией Лагранжа. Для нее выписываются как для функции трех переменных необходимые условия абсолютного экстремума:
При этом получается в точности система (4).
Коэффициент l называют множителем Лагранжа.
Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных. Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями j 1
(x,y,z)=0 и j 2
(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:
F(x,y,z, l 1
, l 2
) = f(x,y,z) + l 1
j 1
(x,y,z)+ l 2
j 2
(x,y,z).
Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, l 1
, l 2
.
41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:
И, перенеся f(
х 0,
y 0

)
в левую часть, получим слева
Положим u = AΔx 2
+ 2B∆xΔy +CΔy 2

При ρ→0
квадратичная форма u убывает со скоростью р 2

, т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (
х 0

,, y
0

)
,будет выполнятся неравенство 1/2│
u│>│R│(
если u не обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=
0
, знаки ∆
f
и
R
совпадают. Имеются 3 возможности:
1. Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆
f
. При ∆f≤0
в точке (
х 0

,, y
0

)
имеется максимум, а при ∆f≥0
- минимум.
2. В любой оокрестности точки (
х 0

,, y
0

)
величина u принимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆
f
. Экстремума нет.
3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.
Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В ¹ 0, то u = В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении - знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в каждом конкретном случае.
Пусть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (В¸А ∆у) 2
. Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:
1. Если В 2
- АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,
Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы u совпадает со знаком числа А.
2. Если В 2
- АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x 2
и если ∆х≠0., то ∆x 2
> 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.
3. Если В 2
- АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у) 2
, которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.
Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆ х
z и по у ∆ у
z. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.
Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆ х
z к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)
Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.
Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f' y
(x,y) с той разницей, что f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.
Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.
Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.
32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в области
б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.
2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.
19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

Если существует предел интегральной суммы s R
при λ R
→0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξ i
, то он называется определенным интегралом от функции f(x)
на отрезке [a,b] и обозначается (1)
В интеграле (1) числа a
и b
называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x)
≥0
на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x)
,
будем считать ее положительной.(рис 1)
Фигура aABb
, ограниченная графиком функции y=f(x)
,
отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА
и bB
к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.
Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками х i
(i = 0,n): а= х 0

<
x 1
< x 2
<…< x n
=b.
Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем
И построим прямоугольник с высотой f(ξ i
). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем s R
. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λ R
→0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.
Определение: Площадью криволинейной трапеции aA
А
b
называется предел, к которому стремится площадьs R
ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λ R
→0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξ i
).
28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а
, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:
Покажем, как нахождение предела периметра P n
сводится к вычислению интеграла. Представим ∆l i
в нужном виде:
По формуле конечных приращений Лагранжа
Поставив это выражение ∆у i
в формулу ∆l i
, полуим
с полученными выше точками ξ i
, то придем к выражению (1), т.е.
Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что
29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.
Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а= х 0

<
x 1
< x 2
<…< x n
=b.
На отрезке [x i
, x i+1
] строим прямоугольник высотой f(x i
). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x i
) и высотой ∆ x i
. Его объем равен π[f(x i
)]² ∆ x i
. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x 0
,x 1
], [x 1
,x 2
],…[x n-1
,x n
]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V n
.
Определение: Если существует предел V n
, когда
Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.
Данная сумма является интегральной суммой для функции,
Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то
15. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ∫ А
f(x)dx = A ∫ f(x)dx
(постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
2. ∫
[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
(интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).
16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:
Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).
Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям
Матрицей
порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m - m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.
При сложения, должны быть равны порядки матриц.
а 11
в 11
+а 12
в 21
а 11
в 12
+а 12
в 22

а 21
в 11
+а 22
в 21
а 21
в 12
+а 22
в 22

2 Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель
(детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.
Порядок определителя
-
порядок соответствующей матрицы.
Определение определителя 2-го порядка.

Определение определителя 3-го порядка.

а 21
а 22
а 23 =
а 11
а 22
а 33
+ а 21
а 32
а 13
+
а 31
а 32
а 33
+ а 12
а 23
а 31
- а 13
а 22
а 31
-
3 Минором
элемента а ij
определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент а ij

а
ij

занимает четное место
, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.
Алгебраическим дополнением (А
ij

)
элемента а ij
называется минор этого элемента взятый с "+" если а ij
- четное и с "-" , если а ij
- нечетное.
а 21
а 22
а 23 =
а 11
А 11
+а 12
А 12
+а 13
А 13

4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

а 1
х + в 1
у =с 1
· в 2
-для искл.
а 2
х + в 2
у =с 2
· (-в 1
) неизв. у
II сложим полученные уравнения, получим
х( а 1
в 2
- а 2
в 1
) = с 1
в 2
- с 2
в 1

у( а 1
в 2
- а 2
в 1
) = а 1
с 2
- а 2
с 1

III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.
Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Д х
и Д у
получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.
5.Геометрическое истолкование линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

пусть х 0
у 0
- какое-нибудь решение 2-го уравнения, подставляем:
решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.
Противоречивая система
- не имеет решений.
______________________________________________________________________
второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.
Неопределенной системой
называется система, имеющая бесконечное количество значений.
6. Геометрическое истолкование линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

В пространстве Oxyz каждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.
1. Основной определитель Д
¹
0
. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически - это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.
2х+4у+2z=4 жая их на 3 и 2 соответственно.ÞСистема неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляем z=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение z и получим решение системы Таких решений бесконечное множество.
Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)Þможно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.
Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.
При этом когда 2 || , третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из нихÞ система противоречива.
Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения || между собой (их 3)Þ система противоречива.
*** Если в однородной системе все миноры 2-го порядка =0, решение зависит от 2х параметров., или хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.
7. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов.

Вектором
называется величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā| или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..
Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим ^ на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А' и В' Вектор A'B' называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.
Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.
Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника - к концу первого вектораподставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.
Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.
Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.
Если векторы ā и в коллиниарны (ā¹0; в¹0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число l, что а=lв.
Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.
9
. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.
2. Дистрибутивность. (а+в)×(с)=(а×с)+(в×с)
3. (lа,в)=(а,lв) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.
4. Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они ^ или один из них=0
8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z) Проекции а х
и а у
вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат - a и b, тогда а х
=|a|×cosa - направляющие

Величины cosa и cosb называются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты а х
и а у
, можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cosa= а х
¸|a|, cosb= а у
¸|a|
Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}
Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле
Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов а и в обозначается так: [а,в] или а´в.
Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а,в], для кот.:
1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)
2. прямая, несущая вектор, ^ каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма
3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)
Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.
1. в´а = - а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно
3. (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно
а´в= а х
а у
а z
=i в у
в z
- j в х
в z
+k в х
в у

11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=[а,в]×с
Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а,в]
H= |c| ×|cosj|, где j - острый или тупой угол между векторами S и С.
авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V - объем параллелепипеда.
Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.
Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0
Координатная формула величины см. произведения векторов.
а={а х
а у
а z
}, в={в х
в у
в z
}, с={с х
с у
с z
}:
12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М 1
и М 2
вычисляется как модуль |М 1
М 2
| вектора М 1
М 2.

М 1
М 2
=| М 1
М 2
|=√(х 2
-х 1
) 2
+ (у 2
-у 1
) 2

Нахождение координат точки, делящей отрезок М 1
М 2
в заданном отношении М 1
N¸N М 2
= p(число р задано)
NL;K 2
М 2
рассекают стороны угла M 2
AK 2
на пропорциональные отрезки:
p=М 1
N¸N М 2
=K 1
L¸LK 2
или х-х 1
¸х 2
-х 1
=pÞх=х 1
+pх 2
¸1+p;y=у 1
+pу 2
¸1+p
в частности координаты середины отрезка (p=1)
13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А 2
+В 2
¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты
у=
k
х+в
- уравнение прямой с угловым коэфициентом
k=tga, где a - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0Реферат: Шпоры по математическому анализу
Реферат: Экономико - математическое моделиpование. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение На Тему Древняя
Курсовой Проект Здания И Сооружения
Контрольная Работа По Русскому По Теме Лексика
Тропические Леса В Опасности Реферат
Курсовая работа по теме Разработка концепции кадровой политики
Реферат: Архетипы философского дискурса. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Юдифь
Какую Тему Диссертации Выбрать
Реферат: Квантовая теория
Правовое Регулирование Игорного Бизнеса В России Курсовая
Эссе По Просмотренному Фильму
Реферат по теме Волны, фотоны, кванты
Реферат по теме Кризис Арала
Реферат по теме Тяговой расчёт ленточного конвейера
Дипломная работа по теме Статистическое изучение использования основных производственных фондов на предприятии
Реферат: Цимбалы
Эссе На Тему Остров Глобальная Проблема
Развитие библиотечных фондов
Реферат: Pro Death Penalty Essay Research Paper A
Реферат: К. Э. Циолковский - основоположник космонавтики
Реферат: Специфика социокультурных исследований (на примере российской государственности)
Доклад: Критерии и оценки восприятия