Реферат: Решение уровней колебания струны методом характеристик

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю.

Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Существует несколько способов решения этих уравнений. При изучении уравнений колебания струны на курсе механики, студенты пользуются идеализаций, упрощений и вторым законом Ньютона. В курсе математического анализа же решение уравнений колебания струны легко решить методом характеристик или методом Даламбера.
Итак, для начала, нам нужно определить, что такое струна? Струна – это тонкая, гибкая, сильно натянутая нить с равномерно распределённой по всей длине плотностью.
Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Очевидно, что если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться (см. рис. 1).
Для упрощения задачи, будем ограничиваться рассмотрением малых, поперечных и плоских колебаний струны, то есть только тех колебаний, при которых отклонения точек струны от положения покоя малы. В любой момент времени все точки струны находятся в одной и той же плоскости и каждая точка колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре прямой, соответствующей состоянию покоя струны. Примем эту прямую за ось , и обозначим через – отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени .
Итак, при каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени .
Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
где масса единицы длины, или линейная скорость струны, –
сила действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, то есть , то получим уравнение свободных колебаний струны:
Для того чтобы определить полное движение струны, мы зададим в начальный момент времени форму и скорость струны, то есть положение её точек и их скорость в виде функций абсцисс x
этих точек. Тогда начальными условиями задачи будут:
к каноническому виду и получим уравнение вида:
Запишем общее решение последнего уравнения:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний запишется в виде:
Подберем функции и таким образом, чтобы функция удовлетворяла приведенным начальным условиям, и тогда получим решение исходного уравнения:
(1) Формулу (1) называют формулой Даламбера.
Пример 1.
Найти формулу струны, определяемой уравнением в момент времени если .
Решение:
Подставляя исходные данные в формулу (1) получим:
Воспользовавшись формулой суммы тригонометрических функций и одним из основных свойств интеграла:
Пример 2.
Найти решение уравнения , если , .
Решение:
Из условий примера видно, что .
Пример 3.
Методом Даламбера найти уравнение формы бесконечной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент форма струны с абсциссой x
определяется соответственно заданными функциями , , , .
Решение:
Искомая функция описывается формулой Даламбера (1)
Итак, после решения уравнений колебания струны методом характеристик и разбора предложенных примеров, мы видим, что эти уравнения не так сложны, как кажется на первый взгляд. Разобрав метод характеристик, каждый студент способен сам решить рассмотренные уравнения.
Также можно сказать, что благодаря знаниям основных разделов математического анализа, некоторые физические явления, уравнения, формулы из курса физики становятся понятнее и доступнее для каждого студента физико-математического факультета. Таким образом, мы пытаемся показать актуальность межпредметных связей при изучении отдельных дисциплин студентами физико-математических факультетов различных вузов.
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач. СПб. : Издательство «Лань», 2007. - 608 с.
2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики: Учебник. - 2-е изд., перераб. и дополненное. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1982 - 336 с.
3. С.Л. Соболев Уравнения математической физики: Учебник. - 4-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1966 - 443 с.

Название: Решение уровней колебания струны методом характеристик
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 07:29:27 22 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 665
Комментариев: 13
Оценило: 3 человек
Средний балл: 4.7
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Решение уровней колебания струны методом характеристик
Лабораторная Работа 2 9 Класс
Интерактивные Технологии В Доу Тематика Рефератов
Курсовая работа по теме Розробка таймера прямої ходи
Курсовая работа: Стилистические ошибки в современных средствах массовой информации
Курсовая работа: Методология и практика особенностей обращения взыскания на заработок должника, отбывающего наказание
Реферат: Homosexuals Research Essay Research Paper How America
Право На Занятие Медицинской Деятельностью Реферат
Контрольная Работа По Биологии 9 Класс Митоз
Реферат: Антропологическая парадигма в философии
Курсовая работа по теме Особенности брачного выбора среди студентов (на примере НФИ КемГУ)
Контрольная работа по теме Расчет одноступенчатой холодильной машины
Реферат по теме Принципи управління персоналом
Вывод Сочинения Станционный Смотритель Самсон Вырин
Расстройства личности (астенической, тревожно-мнительная, психастеническая психопатии)
Курсовая Работа Транспортный Налог
Курсовая Работа Работа С Детьми Овз
Реферат: Механизация лесозаготовительного производства
Краткое Изложение На Тему Конституція України
Контрольная работа: Ответы на билеты
Контрольная Работа 5 Класс Немецкий
Реферат: Литература - Терапия (заболевания ЖКТ)
Реферат: Применение MS Excel для решения статистических задач
Реферат: Scarletletter Symbolism Essay Research Paper The Scarlet