Реферат: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями
называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
Точные методы
позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы
с заданной степенью точности.
1. Функция f
( x
) непрерывна на отрезке [ a, b
] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.
2. Значения f
( x
) на концах отрезка имеют разные знаки ( f
( a
) * f
( b
) < 0) .

3. Первая и вторая производные f'
( x
) и f''
( x
) сохраняют определенный знак на всем отрезке.
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [ a,
b
] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f
( x
) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.
Решить уравнение (1) итерационным методом
значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.
Всякое значение , обращающее функцию f
( x
) в нуль, т.е. такое, что:
называется корнем
уравнения
(1) или нулем
функции f
( x
) .

Задача нахождения корня уравнения f
( x
) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
1. отделение корней
- отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;
2. уточнение приближенных корней
- доведение их до заданной степени точности.
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f
( x
) в граничных x
= a
и x
= b
точках области ее существования.
Пример

1 .

Отделить корни уравнения:
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].
Приближенные значения корней ( начальные приближения
) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.
В инженерной практике распространен графический способ
определения приближенных корней.
Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f
( x
) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f
( x
) и отметить точки пересечения f
( x
) с осью Ох,
или отметить на оси Ох
отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным
ему уравнением:
где функции f
1
( x
) и f
2
( x
) - более простые, чем функция f
( x
). Тогда, построив графики функций у
= f
1
( x
) и у
= f
2
( x
) ,
искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример

2 .

Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства:
Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y
= lg x
и гиперболы y
=
. Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3].
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х
0
. Каждый такой шаг называется итерацией
. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х
1
,
х
2
,
...,
х n
.
Если эти значения с увеличением числа итераций n
приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится
.
Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f
( х
) = 0 заменяется равносильным уравнением
Пусть известно начальное приближение корня х = х
0
.
Подставляя это значение в правую часть уравнения (8), получим новое приближение:
Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (8), получаем последовательность значений:
Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу
графики функций у = х
и у =
j
( х
) .
Каждый действительный корень уравнения (8) является абсциссой точки пересечения М
кривой у =
j
( х
) с прямой у = х
(Рисунок 6, а
) .

Отправляясь от некоторой точки А
0
[ x
0
, j
( x
0
)] ,
строим ломаную А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох
и оси Оу
, вершины А
0
, А
1
, А
2
, ...
лежат на кривой у=
j
( х
) ,
а вершины В
1
, В 2
, В
3
, …, - на прямой у = х.
Общие абсциссы точек А
1
и В
1
, А
2
и В
2
, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х
1
, х
2
, ...
корня .
Возможен также другой вид ломаной А
0
В
1
А
1
В
2
А
2
...
- “спираль” (Рисунок 6, б
). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' ( х
) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' ( х
) отрицательна.
На Рисунке 6, а, б
кривая у
= j ( х
) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рисунок 7).
Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема:
Пусть функция
j ( х
) определена и дифференцируема на отрезке
[ a, b
], причем все ее значения
j ( х
) [ a
, b
].
Тогда, если существует правильная дробь
q
такая, что

при a
< x
< b,
то:
1) процесс итерации

сходится независимо от начального значени
я х
0
I
[ a
, b
];
2) предельное значение
является единственным корнем уравнения
х =
j
( х
) на отрезке
[ a, b
].
имеет корень x [1, 2], так как f
(1) = - 1 < 0 и f
(2) = 5 > 0.
Уравнение (10) можно записать в виде
j ( х
) = х
3
- 1 и j' ( х
) = 3 х
2
;
и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.
Если записать уравнение (10) в виде
Отсюда при 1 х
2 и значит, процесс итерации для уравнения (12) быстро сойдется.
Найдем корень x уравнения (10) с точностью до 10 -2
. Вычисляем последовательные приближения х n

с одним запасным знаком по формуле
Найденные значения помещены в Таблицу 1:
Значения последовательных приближений x i.



С точностью до 10 -2
можно положить x = 1,324.

Название: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 07:57:33 15 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 612
Комментариев: 13
Оценило: 3 человек
Средний балл: 4.7
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
Статьи Вак Для Кандидатской Диссертации
Курсовая работа по теме Правонарушения, борьба с которыми возлагается на государство
Статья На Тему Использование Новых Информационных Технологий На Уроках Истории
Эссе Астафьев
Эссе Идеальный Руководитель
Курсовая работа по теме Повстанчество-бандитизм в Иркутской губернии в 1920-е гг.
Каким Я Был Раньше Сочинение
Реферат На Тему Пешеходы
Как Описать По Картине Сочинение
Курсовая Работа На Тему Фізико–Технологічні Процеси Створення Електролюмінісцентних Плоских Пристроїв Відображення Інформації
Реферат по теме Ценностные ориентации народной русской культуры
Конфликт Поколений Как Общественная Проблема Сочинение
Реферат На Тему Российская Империя На Рубеже Xviii-Xix Вв.
Реферат по теме Характеристика Великобритании, как субъекта мировой экономики
В Чем Смысл Жизни Современного Поколения Сочинение
Пушкинская Осень Сочинение
Реферат по теме География вулканов
Курсовая работа по теме Населення Бессарабії за урядовими переписами другої половини XIX ст. – початку 20 ст.: історико-демографічний аналіз
Реферат На Тему Теория Организационных Структур
Реферат: Етапи та види кар'єри
Реферат: Функции и метод стратегического планирования организации
Реферат: Желаем
Контрольная работа: Действие на организм человека растворителей наркотического типа. Контроль изоляции электропроводов