Реферат: Рішення рівнянь із параметрами

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями
Актуальність
даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання знань.
Ціль
даної роботи розповісти про рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі
:
дати визначення поняттям рівняння з параметрами;
показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках;
показати рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
Для виконання поставленої мети були використані наступні методи
: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008 році.
Об'єктом дослідницької роботи
було рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.
Структура даної роботи
містить у собі теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список.
рівняння параметр функція логарифмічна
Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.
Більшість посібників адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми по математиці.
Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.
Природно, такий невеликий клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, - ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь.
Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.
Необхідність акуратного обігу з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.
Звичайно в рівняння буквами позначають невідомі.
знайти множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь.
При одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два корені.
1) знайти множину всіх доступних значень параметрів;
2) перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву;
1. а 0, b – будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення х = .
2. а = 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х R.
Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення.
У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.
х = при а 0, b – будь-яке дійсне число;
х - будь-яке число при а = 0, b = 0;
Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями

1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 х
– 20 = n – n · 10 х + 1
не має коренів?
Рішення
: перетворимо задане рівняння: 15·10 х
– 20 = n – n · 10 х + 1
; 15·10 х
+ n· 10 х + 1
= n + 20; 10 х
·(15 + 10n) = n + 20; 10 х
= .
Рівняння не буде мати рішень при ≤ 0, оскільки 10 х
завжди позитивно.
Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
2. Знайдемо всі значення параметра а
, при яких рівняння lg 2
(1 + х 2
) + (3а – 2)· lg(1 + х 2
) + а 2
= 0 не має рішень.
Рішення
: позначимо lg(1 + х 2
) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z 2
+ (3а – 2) · z + а 2
= 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2) 2
– 4а 2
= 5а 2
– 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а 2
– 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.
3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а
, при якому рівняння cos2x + asinx = 2 a
– 7 має рішення.
Рішення
: перетворимо задане рівняння:
cos2x + a
sinx = 2 a
– 7; 1 – 2sin 2
х – asinx = 2 a
– 7; sin 2
х - a
sinx + a – 4 = 0;
Рішення рівняння (sinх – 2) · = 0 дає:
(sinх - 2) = 0; х належить порожній множині.
sinх - = 0; х = (-1) n
arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а
≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.
4. Указати найбільше ціле значення параметра а
, при якому корінь рівняння 4х 2
- 2х + а
= 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення
: корінь заданого рівняння рівні: х 1
= (1+ )
Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.
Нерівність - 3 < виконується при всіх а ≤ , нерівність < 3 – при - 2 < а
≤ . Таким чином, припустимі значення параметра а
лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.
5. При яких значеннях параметра а
число корінь рівняння
Рішення
: побудуємо ескіз графіка функції, в = 2
- х при цьому врахуємо, що функція в – парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правої частини ( х ≥ 0). Також урахуємо, що тричлен х 2
- 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4 – мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
в = х 2
- 8х + 7 з мінімумом у мін
рівним - 9 при х хв
= 4, і коріннями х 1
= 1 і х 2
= 7;
суцільними лініями зображена частина параболи в = 2
– 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним відбиттям щодо осі 0х частини параболи
(Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у).
Проводячи горизонталі в = а
, а
N, одержуємо k крапок її перетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:
6. Указати значення параметра а
, при якому рівняння
х 4
+ (1 – 2а)х 2
+ а 2
– 4 = 0 має три різних корені.
Рішення
: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.
Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) = (2а – 1) 2
= 17 – 4а
Указати ціле значення параметра p
, при якому рівняння
Рішення
: р
≥ 0; 2 – р
≥ 0 р
≤ 2; поєднуючи припустимі значення параметра р
, маємо:
При р
= 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2 х належить порожній множині ( у силу обмеженості синуса).
При р
= 1 вихідне рівняння приймає вид:
Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить
= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =
sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , що менше +1.
Отже, при р
= 1 рівняння рішень не має.
При р
= 2 вихідне рівняння приймає вид
Максимальне значення різниці становить при х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ). Оскільки > +1, то рівняння = буде мати рішення.
8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння не має рішення.
Рівняння х 2
– 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0 n 2
-10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.
У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
Рішення
: за умовою 1 > sinx > 0 1 < < + ,
Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:
Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:
z 2
+ 2z – а 2
= 0. Воно має рішення при будь-якому а,
оскільки його дискримінант
D = 1 + а 2
позитивний при будь-якому а
.
З огляду на, що 2 < а
< + , містимо, що найменше ціле значення параметра а
, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.
Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями » і якоюсь мірою одержали нові.
По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002.
2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р.
3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.
4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.
5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.

Название: Рішення рівнянь із параметрами
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 17:14:07 10 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 1719
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Рішення рівнянь із параметрами
Сочинение Про Маму 6 Класс По Русскому
Реферат: Таможенное оформление товаров 2
Реферат по теме Раннее христианство на западе римской империи
Социологии Управления Эссе
Дипломная работа по теме Структурно-функциональная характеристика imparfait в старофранцузском тексте
Контрольная работа по теме Автоматизация технологического процесса производства сухих животных кормов
Контрольная работа по теме Человек как предмет естественнонаучного познания
Реферат: Кожистая черепаха
Реферат по теме Патология мыслительной деятельности
Реферат На Тему Методика Развития Физических Качеств
Реферат по теме Культура и быт древних славян
Реферат: Decriminalization Of Marijuana Essay Research Paper Marijuana
Отчет По Производственной Практике В Мфц Образец
Правовые Отношения Эссе
Таможенное Дело Как Объект Системного Анализа Реферат
Реферат по теме Сердце. Автоматия сердца
Реферат На Тему Метод Убеждения
Дипломная работа по теме Разработка веб-сайта интернет-провайдера
Виды Подвижных Игр Реферат
Курсовая работа: Штукатурные работы. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Промисловість Чернівецької області та розвиток сфери обслуговування
Дипломная работа: Оборудование минипекарень
Реферат: Обґрунтування параметрів вібродії на мікросорбційний простір вугілля для ефективної десорбції газу