Реферат: Пружні хвилі
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
1. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
4. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
5. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
6. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
7. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
8. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль.
1. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.
Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвильнезалежно від їхньої природи є перенос енергії без переносу речовини.
Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні і електромагнітні хвилі. Пружні механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще діляться на подовжні й поперечні. У подовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Подовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях стиску і розтягу.
Це означає, що поздовжні хвилі поширюються у твердих, рідких і газоподібних середовищ.
Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях зсуву,
тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах виникають лише подовжні хвилі, а у твердих тілах — як подовжні, так і поперечні хвилі.
Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 21 показана синусоїдальна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х,
тобто показана залежність між зміщенням U (x,t)
частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню х
цих частинок відджерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.
Приведений графік функції U
(
x
,
t
)
несхожий на графік гармонічного коливання. Графік хвилі (рис.1) показує залежність зміщення всіх частинок середовища
від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік гармонічних коливань — залежність зміщення даної частинки
від часу.
Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється фаза коливань за час в один період, тобто
Якщо розглянути хвильовий процес трохи докладніше, то стане ясно, що в хвильовому русі коливаються не лише частинки, розташовані уздовж осі х,
а й сукупність частинок, розташованих у деякому об’ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює все нові і нові області простору. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч. Хвильова поверхня у будь який момент часу називається хвильовим фронтом. Для цього моменту часу хвильовий фронт може бути лише один.
Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові поверхні є сукупністю площин, або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскою або сферичною.
2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими
. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю,
допустивши, що вісь х
збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х,
а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково. Зміщення будь якої точки пружного середовища від положення рівноваги в цьому випадку залежить лише від координати х
і часу t
,
а його величина буде дорівнювати
Розглянемо деяку точку В,
якаперебуває на відстані х
від джерела коливань (рис. 1) .
Якщо коливання точок пружного середовища, які лежать у площині х = 0
, описуються функцією U
(0,t)
= A
cos , то точка Впружногосередовища теж буде коливатися за тим же законом, але її коливання будуть відставати за часом від коливань джерела на τ, тому що для проходження хвилею відстані х
потрібен час τ = ,
де –
швидкість поширення хвилі. Тоді рівняння коливань частинок, які лежать у площині х,
буде мати вигляд
де А –
максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х
, має вигляд
де А –
амплітуда хвилі; ω – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань, обумовлена вибором початкових значень х
і t;
[ ω (
t
-
x
/υ
) + φ 0
]
– фаза плоскої хвилі.
В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х,
відрізняється від (5) тільки знаком члена k
х.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо
Отже, швидкість υпоширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі ,
а тому її називають фазовою швидкістю
.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
де r
– відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає
енергії, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом Рівняння (7) має місце лише для великих r
, які значно перевищуючі розміри джерела коливань (джерело коливань тут можна вважати точковим) .
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль
, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем
.
3. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння ,
яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х.
Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е
(рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S
і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
де Е
─ модуль Юнга; ─ відносна деформація; F
─ зовнішня сила; S
─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х
.
В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
Розглянувши граничний випадок при якому , з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням
Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
Знайдемо другі частинні похідні за часом t
і координатою х
від рівняння (16)
Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
Але оскільки , то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд
Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G
Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.
4. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х
поширюється плоска поздовжня хвиля
Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки малий, щоб швидкість хвилі і швидкість деформації у всіх
Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою
де - кінетична енергія виділеного об’єму; - потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.
Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою
де ρ - густина середовища виділеного об’єму.
Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо
У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:
де k
– коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (8) дорівнює ; ─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.
З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд
Помножимо й поділимо (28) на Δх 2
,
одержимо
В граничному випадку при Δх=0
одержуємо
Підставимо у формулу (30) значення модуля Юнга , і швидкість деформації , одержимо
Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)
Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює , то одержимо середнє значення повної енергії буде дорівнювати
де Δ
V
=
SΔx
─ елементарних об’єм пружного середовища.
Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища
Нехай через площадку S(рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δtпереноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати
де ─ вектор густини потоку енергії; ─ середня густина перенесеної хвилями енергії; ─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно переносу енергії.
5. Хвильові процеси. Подовжні і поперечні хвилі
Коливання, які збуджуються в будь-якій точці пружного середовища (твердому, рідкому або газоподібному), передаються від однієї точки середовища до іншої з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей цього середовища. Чим дальше розташовані частинки середовища від джерела коливань, тим пізніше вони почнуть коливатися. Інакше кажучи, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються одна від одної, чим більша ця відстань. При вивченні поширення коливань в середовищі не враховується дискретний (молекулярний) характер будови самого середовища. В цьому випадку вважають що частинки середовища мають неперервне заповнення навколишнього простору і проявляють пружні властивості.
Процес поширення коливань у суцільному пружному середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею). При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частинки до частинки середовища передається лише стан коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю усіх хвильнезалежно від їхньої природи є перенос енергії без переносу речовини.
Серед різноманітних хвиль, які зустрічаються в природі й техніці, можна виділити такі їх типи: хвилі на поверхні рідини, пружні і електромагнітні хвилі. Пружні механічні хвилі виникають і поширюються лише в пружному середовищі. Пружні хвилі ще діляться на подовжні й поперечні. У подовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, у поперечних – у площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі.
Подовжні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях стиску і розтягу.
Це означає, що поздовжні хвилі поширюються у твердих, рідких і газоподібних середовищ.
Поперечні хвилі можуть поширюватися в середовищах, у яких виникають пружні сили при деформаціях зсуву,
тобто фактично тільки у твердих тілах. У рідинах і газах виникають лише подовжні хвилі, а у твердих тілах — як подовжні, так і поперечні хвилі.
Пружна хвиля називається синусоїдальною (або гармонічною), якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними. На рис. 21 показана синусоїдальна поперечна хвиля, яка поширюється зі швидкістю υ уздовж осі х,
тобто показана залежність між зміщенням U (x,t)
частинок середовища, у хвильовому процесі, і відстанню х
цих частинок відджерела коливань для будь-якого фіксованого моменту часу t.
Приведений графік функції U
(
x
,
t
)
несхожий на графік гармонічного коливання. Графік хвилі (рис.1) показує залежність зміщення всіх частинок середовища
від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік гармонічних коливань — залежність зміщення даної частинки
від часу.
Відстань між найближчими частинками, які коливаються в одній фазі, називається довжиною хвилі λ (рис. 1). Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється фаза коливань за час в один період, тобто
Якщо розглянути хвильовий процес трохи докладніше, то стане ясно, що в хвильовому русі коливаються не лише частинки, розташовані уздовж осі х,
а й сукупність частинок, розташованих у деякому об’ємі, тобто хвиля, поширюючись від джерела коливань, охоплює все нові і нові області простору. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь можна провести безліч. Хвильова поверхня у будь який момент часу називається хвильовим фронтом. Для цього моменту часу хвильовий фронт може бути лише один.
Хвильові поверхні можуть мати довільну форму. В найпростішому випадку хвильові поверхні є сукупністю площин, або сукупністю концентричних сфер. Відповідно хвиля називається плоскою або сферичною.
6. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля
Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими
. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.
Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю,
допустивши, що вісь х
збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х,
а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково. Зміщення будь якої точки пружного середовища від положення рівноваги в цьому випадку залежить лише від координати х
і часу t
,
а його величина буде дорівнювати
Розглянемо деяку точку В,
якаперебуває на відстані х
від джерела коливань (рис. 1) .
Якщо коливання точок пружного середовища, які лежать у площині х = 0
, описуються функцією U
(0,t)
= A
cos , то точка Впружногосередовища теж буде коливатися за тим же законом, але її коливання будуть відставати за часом від коливань джерела на τ, тому що для проходження хвилею відстані х
потрібен час τ = ,
де –
швидкість поширення хвилі. Тоді рівняння коливань частинок, які лежать у площині х,
буде мати вигляд
де А –
максимальне зміщення виділеної коливної точки В від положення рівноваги; ω – циклічна частота генератора коливань джерела.
Рівняння (2) є рівняння біжучої хвилі. Якщо плоска хвиля поширюється в протилежному напрямку, то
В загальному випадку рівняння плоскої синусоїдальної хвилі, яка поширюється без поглинання енергії уздовж позитивного напрямку осі х
, має вигляд
де А –
амплітуда хвилі; ω – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань, обумовлена вибором початкових значень х
і t;
[ ω (
t
-
x
/υ
) + φ 0
]
– фаза плоскої хвилі.
В рівнянні (3) синусоїдальний характер хвилі характеризують хвильовим числом, яке дорівнює
З врахуванням (4) рівняння (3) матиме вигляд
Рівняння хвилі, яка поширюється в сторону менших значень осі х,
відрізняється від (5) тільки знаком члена k
х.
Розглянемо випадок, коли в процесі хвильового руху, фаза коливань не змінюється з часом, тобто
Диференціюємо вираз (6) за часом, одержимо
Отже, швидкість υпоширення хвилі в рівнянні (6) є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі ,
а тому її називають фазовою швидкістю
.
Сферичні хвилі утворюються в однорідному і ізотропному середовищі від точкових джерел коливань. Якщо повторити хід міркувань для плоскої хвилі, можна показати, що рівняння сферичної синусоїдальної хвилі – хвилі, хвильові поверхні якої мають вигляд концентричних сфер, записується так
де r
– відстань від точкового джерела сферичних хвиль до виділеної точки пружного середовища.
У випадку сферичної хвилі навіть у середовищі, яке не поглинає
енергії, амплітуда коливань не залишається постійною, а зменшується з відстанню за законом Рівняння (7) має місце лише для великих r
, які значно перевищуючі розміри джерела коливань (джерело коливань тут можна вважати точковим) .
тобто фазова швидкість синусоїдальних хвиль залежить від їхньої частоти. Це явище називають дисперсією хвиль
, а середовище, у якому спостерігається дисперсія хвиль, називається дисперсним середовищем
.
7. Одномірне хвильове рівняння. Швидкість поширення хвиль
Рівняння довільної хвилі є розв'язком рівняння ,
яке називається хвильовим.
Для виведення цього рівняння скористаємось рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в напрямку осі х.
Розглянемо ділянку пружного середовища, яке характеризується модулем пружності Е
(рис. 2). З рисунка видно, що виділений елемент має переріз S
і довжину Δх. Під дією зовнішньої сили F виділена ділянка пружного середовища деформується на величину ΔU.
Оскільки середовище є пружним, то для виділеної ділянки можна застосувати закон Гука
де Е
─ модуль Юнга; ─ відносна деформація; F
─ зовнішня сила; S
─ площа виділеної ділянки пружного середовища в напрямі осі х
.
В граничному випадку при , рівняння (8) запишеться так
Якщо збуджувати поздовжню хвилю в деякому пружному середовищі, яким є наприклад стержень перерізом S з модулем Юнга Е, то на виділену ділянку будуть діяти дві сили (рис.3). Запишемо для цієї ділянки другий закон Ньютона
Сили в рівнянні (10) є пружними силами, а тому відповідно до рівняння (9) запишуться так
Якщо підставити ці сили (11) в другий закон Ньютона (10), то після деяких перетворень одержимо
де m ─ маса виділеної ділянки пружного середовища.
Масу виділеної ділянки пружного середовища можна виразити через об’єм і густину речовини стержня так
З урахуванням значення маси (13) і нескладних перетворень рівняння (12) запишеться так
Розглянувши граничний випадок при якому , з рівняння (14) одержуємо рівняння, яке називається хвильовим рівнянням
Рівняння (15) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку в частинних змінних. Розв’язком такого рівняння є уже відоме рівняння плоскої хвилі
Знайдемо другі частинні похідні за часом t
і координатою х
від рівняння (16)
Після підстановки похідних (17) в рівняння (15) та необхідних скорочень одержимо
Але оскільки , то хвильове рівняння (15) буде мати інший вигляд
Таким чином швидкість поширення механічних хвиль у пружному середовищі залежить від пружних властивостей цього середовища і його густини
Оскільки модуль Юнга характеризує стиснення або розтягування пружного середовища, то одержана швидкість (20) є фазовою швидкістю лише поздовжніх хвиль.
Фазова швидкість поперечних хвиль, які можуть існувати лише в твердому пружному середовищі, визначають заміною модуля Юнга в (20) на модуль зсуву G
Розрахунки показують, що в твердому середовищі модуль Юнга E майже на порядок перевищує модуль зсуву G, тому фазова швидкість поздовжньої хвилі тут більша за швидкість поперечної хвилі, тобто
Важливо відмітити, що для механічних хвиль, які мають велику довжину λ рівняння (15) і (19) будуть нелінійними.
Якщо механічна хвиля поширюється в однорідному ізотропному середовищі, то хвильове рівнянням буде мати вигляд:
Для механічних хвиль властивий принцип суперпозиції. Це означає, що при накладанні механічних хвиль відсутнє їх спотворення.
8. Енергія пружних хвиль. Потік і густина потоку енергії хвиль
Нехай в деякому пружному середовищі в напрямі осі х
поширюється плоска поздовжня хвиля
Виділимо в цьому середовищі елементарний об’єм ΔV, настільки малий, щоб швидкість хвилі і швидкість деформації у всіх його точках були однакові.
Повну механічну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі розраховують за формулою
де - кінетична енергія виділеного об’єму; - потенціальна енергія пружної деформації цього об’єму.
Кінетичну енергію, яку має виділений об’єм пружного середовища знаходимо за формулою
де ρ - густина середовища виділеного об’єму.
Першу похідну за часом від (24) підставимо в (25), одержимо
У відповідності з рис. 4 потенціальну енергію пружної деформації виділеного об’єму знаходимо так:
де k
– коефіцієнт пружності середовища, який відповідно до закону Гука (8) дорівнює ; ─ величина деформації виділеного об’єму пружного середовища.
З урахуванням цих позначень (27) матиме вигляд
Помножимо й поділимо (28) на Δх 2
,
одержимо
В граничному випадку при Δх=0
одержуємо
Підставимо у формулу (30) значення модуля Юнга , і швидкість деформації , одержимо
Повну енергію, локалізовану у виділеному об’ємі пружного середо-вища, одержимо при додаванні кінетичної енергії (26) і потенціальної енергії (31)
Якщо врахувати, що середнє значення квадрата синуса за час в один період дорівнює , то одержимо середнє значення повної енергії буде дорівнювати
де Δ
V
=
SΔx
─ елементарних об’єм пружного середовища.
Середнє значення густини енергії легко одержати, якщо (33) поділити її на величину виділеного об’єму пружного середовища
Нехай через площадку S(рис.4), яка є перпендикулярною до напрямку поширення хвилі, за час Δtпереноситься енергія ΔW. Тоді вектор густини енергії буде дорівнювати
де ─ вектор густини потоку енергії; ─ середня густина перенесеної хвилями енергії; ─ вектор швидкості, модуль якої дорівнює фазовій швидкості хвиль з напрямком поширення хвиль і відповідно переносу енергії.
Вектор потоку енергії вперше одержав і розглянув видатний російський фізик Умов. На честь цього фізика він був названий вектором Умова.
Название: Пружні хвилі
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат
Добавлен 09:33:04 03 апреля 2009 Похожие работы
Просмотров: 772
Комментариев: 14
Оценило: 3 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Пружні хвилі
Традиции Сочинение
Реферат по теме Модернизация системы управления документами Еврокомиссии
Развлекательный Туризм Курсовая Работа
Реферат: Тиреотоксикоз етіологія патогенез діагностика терапія
Реферат: Анализ стихотворения Марины Цветаевой Душа
Контрольная работа по теме Морфология и анатомия цветка
Оформление Реферата На Английском Языке Образец
Образцы Сочинений Рассуждений Огэ 2022
Индивидуальность Эссе
Реферат Цель Социальной Работы
Реферат: Формирование и использование средств бюджета Пенсионного фонда РФ
Курсовая работа по теме Проект композиционного материала для изготовления труб, работающих под нагрузкой
Реферат: Обучение детей игре на детских музыкальных инструментах. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная работа по теме Химические элементы в среде и в составе тела человека
Курсовая работа: Директ-костинг. Скачать бесплатно и без регистрации
Баскетбол Туралы Реферат Қазақша
Курсовая Работа На Тему Производительность Труда На Производстве Основных Видов Продукции
Реферат: Заснування Києва
Курсовая работа по теме Разработка технологического процесса механической обработки ступенчатого вала с шпоночным пазом
Сочинение 9 3 Предательство
Статья: О примирительных процедурах (посредничестве) и проблемах мирового соглашения
Реферат: Экзистенциальная концепция Ясперса
Реферат: Деятельность классного руководителя по формированию нравственного поведения младших школьников