Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
КУРСОВАЯ РАБОТА студента 2-го курса: Полякова Е.В.
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Требуется найти определенный интеграл
Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл.
Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис.1).
Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница
Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления.
Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка [ a, b].
Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными .
Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида
Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но
не от вида функции (k=0,1,2,........, n).
R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы.
Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения.
При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления.
Разобьем отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей системой точек
xi= xo+ i..h; ( i = 0,1,2,......,n)
и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах
1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа
Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти
По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда
где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:
Для вычисления коэффициентов Аi заметим что:
1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x);
2.для полинома степени n последняя формула точная.
Пологая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:
(k=0,1,..,n), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,..,АN.
Определитель системы есть определитель Вандермонда
Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.
Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :
1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников.
Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла
Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников.
По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —
для метода средних прямоугольников:
Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом
Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения
получим обобщенную формулу Симпсона:
Остаточный член формулы Симпсона в общем виде:
Рассмотрим квадратурную формулу вида:
функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao+a1x+...+anxn . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах
f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n
f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n
f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n
f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn
Значения х1,х2,..,хn для различных n приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Значения х1,х2,..,хn для различных n.
x1= p/4+p/4*t1=p/4+p/4(-0,832498)=0,131489
x2= p/4+p/4*t2=p/4+p/4(-0,374341)=0,490985
y1=sin(x1) = sin(0,131489)=0,131118
y2=sin(x2) = sin(0,490985)=0,471494
y4=sin(x4) = sin(0,509015)=0,487317
y5=sin(x5) = sin(0,868511)=0,763367
I = p/10(0,131118+0,471494+0,706825+0,487317+0,763367) =
3. Описание программы Integral. pas. Алгоритм.
Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xi
Процедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yi
Процедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
Процедура TABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)
При запуске программы нужно ввести границы интегрирования.
После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h.
После этого используем процедуры FORM и CHEB .
Получив результат, выводим таблицу ( процедура TABL ) и интеграл.
Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.
Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.
Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.
Программа написана на языке Tubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:
procedure vvod(var a,b:real;var c:aa);
{ заполнение y-ков в массиве у[5] }
procedure form(var x:aa; var y:aa);
{ процедура для расчета интеграла по квадратурной
procedure cheb(var y:aa;var ich:real);
writeln(' ___________________________________ ');
writeln(' ___________________________________ ');
writeln('| 1 |',k:9:6,'|',x[1]:9:6,' |',y[1]:9:6,'|');
writeln('| 2 |',l:9:6,'|',x[2]:9:6,' |',y[2]:9:6,'|');
writeln('| 3 |',z:9:6,'|',x[3]:9:6,' |',y[3]:9:6,'|');
writeln('| 4 |',l:9:6,'|',x[4]:9:6,' |',y[4]:9:6,'|');
writeln('| 5 |',k:9:6,'|',x[5]:9:6,' |',y[5]:9:6,'|');
writeln(' ___________________________________ ');
writeln(' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я');
writeln(' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А ');
writeln('Введите границы интегрирования a,b:');
П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я
О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г ОИ Н Т Е Г Р А Л А
Введите границы интегрирования a,b:
| 1 |-0.832498| 0.131556 | 0.131177|
| 2 |-0.374541| 0.491235 | 0.471716|
| 3 | 0.000000| 0.785400 | 0.707108|
| 4 |-0.374541| 0.508765 | 0.487099|
| 5 |-0.832498| 0.868444 | 0.763325|
1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“
2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат.
3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“
4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”
5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.
6. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.
Название: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 07:52:04 28 февраля 2003 Похожие работы
Просмотров: 3330
Комментариев: 21
Оценило: 7 человек
Средний балл: 3.9
Оценка: 4 Скачать
Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.
Реферат: Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Реферат: Пройти огонь, воду и медные трубы
Курсовая Работа На Тему Возможности Интернета Как Рекламоносителя
Курсовая Работа На Тему Рынок Ценных Бумаг В Рыночной Экономике
Контрольная Работа На Тему Связь Мышления И Языка, Виды Определений Понятий
Реферат по теме Безналичный оборот денежных средств
Спанч Боб Сочинение На Английском
Школьное Утро Сочинение
Реферат по теме Методика обучения истории, как наука и учебный предмет
Реферат по теме Государственная социальная помощь
Контрольная работа: Технологія процессу проведення фокус-групового дослідження
Подготовить Сочинение На Тему Внешность Человека
Реферат: Валеология - перспективное научно-педагогическое направление XXI века
Доклад: Современная молодежь
Реферат: Демократические режимы
Организация Работы Персонала Реферат
Контрольная работа: Факторинговые операции. Банк международных расчетов (БМР)
Реферат На Тему Автоматизована Система Комерційного Обліку Електроенергії
Реферат по теме Понятие правосознания, его структура и виды. Пути повышения правосознания граждан РФ
Реферат по теме Понятие нормы права
Контрольная работа по теме Сделки в гражданском праве
Доклад: Коста-Рика
Реферат: Христианство (возникновение и развитие, разделение церквей, православие и католицизм, протестантизм)
Реферат: Определение инвентарной стоимости и учет объектов законченного строительства