Реферат: Преобразование Фурье

🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.
Определение
. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.
Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:
"j,yÎS(R), a, bÎКвыполнено aj+byÎS(R).
Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.
2) Если j(x)ÎS(R),то j(x) ограничена на R.
4) Если j(x)ÎS(R) и P(x) – многочлен, то P(x)j(x)ÎS.
Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств
Докажем свойство 3). Во первых, y=xjÎC ∞
(R). Далее,
Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a 0
+a 1
x+…+a n
x n
, то по свойству 3) имеем x i
jÎS(R), потому функция P(x)j(x)=a 0
j+a 1
(xj)+a 2
(x 2
j)+…+a n
(x n
j) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.
Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).
§2. Одномерное преобразование Фурье.

называется преобразованием Фурье функции j(x) и обозначается F[j]. Ясно, что не для всякой функции j(x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.
Если (интеграл Лебега), то будем говорить, что j принадлежит пространству L 1
(R).
Предложение 1.
Преобразование Фурье функции j(x) из L 1
(R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.
Доказательство следует из равенства и (1):
Следствие.
Преобразование Фурье определено для функций jÎS(R).
Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)ÌL 1
(R). Заметим, что если jÎS(R), то по свойству 4) функция (1+x 2
)jÎS(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x 2
) -1
ÎL 1
(R). Поэтому функция (1+x 2
)j(1+x 2
) -1
ÎL 1
(R).
§3. Свойства преобразований Фурье функций из
S
(
R
).

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом
сходимость которого вытекает из свойства 3): xj(x)ÎS(R)ÌL 1
(R).
Так как -ixjÎS, то доказательство немедленно вытекает из 1).
теперь можно интегрировать по частям
Предложение 2.
Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.
Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем
По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция
лежит в классе Шварца SÌL 1
, и тогда, по предложению пункта 2, функция ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим C n
,
m
. Предложение доказано.
называется обратным преобразованием Фурье функции j(y) и обозначается F -1
[j].
Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:
Докажем, что F -1
[F[j]]=j для любой функции jÎS. Для этого потребуется
Лемма.
Пусть непрерывная функция h(y)ÎL 1
(R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть
такой набор точек, что на интервалах (y i
,y i
+1
) функция h класса C 2
, i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от y i
, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение
Доказательство. Так как h(y)ÎL 1
, то для всякого e>0 найдется такое А, что
Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду
и, следовательно, стремится к нулю при в силу сходимости интеграла (3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится .
Если h класса C 2
в окрестности точки x, то из равенства
следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем
Предложение 3.
F -1
[F[j]]=j для любого jÎS(R).
Внутренний интеграл сходится равномерно по yÎ[-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.
Теперь утверждение следует из леммы.
Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение “на”. Определим оператор J переводящий функцию j(x) в функцию j(-x). Тогда очевидно равенство F=2pJF -1
, откуда, умножая справа на FJ/2p и используясь равенством JJ=1, будем иметь , где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.
§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом a=(a 1
,…,a n
) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число
Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§
1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u
(
x
,
t
)
, непрерывную при t
0
и x R
и класса C
2

при t
>0
, удовлетворяющую уравнению
при t
>0
, x R
и начальному условию
Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.
Теорема (Тихонова).
Пусть u
(
x
,
t
)
– решение задачи (1),(2) с функцией j(x)º0. Пусть "
e
>0
существует постоянная C
>0
такая, что
при всех x
Î
R
и t
³
0
. Тогда u
º
0
.
Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем
при любом e
>0
, не может найтись более одного решения задачи (1),(2).
Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.
Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании. Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y
, находим
Где g(
y)
– произвольная функция. Используя (2), определяем g(
y)
:
§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t³0.
Доказательство. Так как , то при любом t³0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем
так как , то интеграл (6) сходится равномерно при t³0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(
x,
t)
по t
и x
.
Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:
Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(
x,
t)
удовлетворяет уравнению (1). Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.
§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах
В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции при значении аргумента –(
x-
z)
, поэтому из (9.2) имеем
называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:
§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.

Теорема 3. Пусть j(z) ограничена и непрерывна на вещественной оси. Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).
Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла
Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену
Из ограниченности функции j следует равномерная сходимость интеграла как по xÎR, так и по t>e.
Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).
Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):
Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла
§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.

Теорема 4.
Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией jº0. Тогда u(x, t)º0.
где e>0, d - любого знака. Легко проверить, что
Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x 0
, t 0
). Покажем, что v(x 0
, t 0
)³0. Пусть, напротив v(x 0
, t 0
)<0. Тогда, очевидно, t 0
>0, так как v(x, 0)º0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения
Итак, v(x, t)³0 при всех x и t³0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при e®0 в неравенстве
получаем du(x, y)³0. Ввиду произвольности знака d отсюда следует u=0.Теорема доказана

Название: Преобразование Фурье
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 00:57:01 18 июня 2005 Похожие работы
Просмотров: 243
Комментариев: 15
Оценило: 5 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Преобразование Фурье
История Возникновения Древнерусского Государства Реферат
Реферат по теме Барокко в творчестве Агриппы д’Обинье
Реферат На Парикмахерскую Тему
Розумна Теплиця Дипломна Робота
Реферат: Microsoft Office 95. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа: Анализ финансового состояния предприятия и пути его улучшения 2
Спор Поколений Сочинение По Литературе
Что Такое Дружба Сочинение 15.3
Реферат По Литературе
Реферат: Патофизиология (Нарушения кислотно-основного баланса)
Реферат: Learning Portrait Essay Research Paper Learning Portrait
Реферат Система Схема Расширенного Управления
Реферат: Психологический портрет личности 2
Практическая Работа Типы Данных
Реферат: Крупнейшие зарубежные транснациональные корпорации. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: General Statements On Eliot Essay Research Paper
Сочинение Зачем Нужны Цели В Жизни
Дипломная работа по теме Эффективность внедрения систем электронного документооборота на предприятии
Дипломная работа по теме Банкротство физических лиц
Реферат по теме Педагогический анализ техники ориентировочной части двигательного действия
Изложение: Король Генрих IV, ч. 1-я
Топик: Toronto
Доклад: Профессионализация спорта и cпортивная этика