Реферат: Пределы

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Число А наз-ся пределом последоват-ти X n

если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N 0
, такое что при всех n>N 0
будет выполн-ся нер-во |X n
-A| A-EN 0
попадают в Е-окрестность (.)А.
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N 1
"n>N 1
|a-Xn| " E/2 $ N 2
"n>N 2
|Xn-и|N 0
. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной.


n>N 1
Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во: 1.
из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N 2
|Xn-a| n>N 3
, a-EN 0
Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной

в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной
в данной обл-ти.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой

при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N 0
, n>N 0
, |Xn| " E/2 $N 1
, n>N 1
|Xn|" E/2 $N 2
, n>N 2
|Yn|N 0
,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn – б.м. => " E/K $N 0
n>N 0
|Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N 0
n>N 0
|Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Xn – бесконечно большая
n®¥, если "M>0 $N 0
, n>N 0
, |Xn|>M => M"M $N 1
, n>N 1
|Xn|>M
из Yn – б.б. => "M $ N 2
, n>N 2
|Yn|>M
N 0
=max(N 1
, N 2
) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M 2
>M
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N 0
, n>N 0
|Xn|>M =>n>N 0
.
|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во:lim Xn=a => Xn=a+a n
; lim Yn=b => Yn=b+b n
;
Xn ± Yn = (a + a n
) ± (b + b n
) = (a ± b) + (a n
± b n
) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во:Xn/Yn – a/b = (a+a n
)/(b+b n
) – a/b = (ab+a n
b–ab–ab n
)/b(b+b n
) =(ba n
-ab n
)/b(b+b n
)=g n
=> Xn/Yn=a/b+g n
=> $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.


Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x 0
, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x 0
| A-E0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x 0
|M, "x x 0
-df(x)>M.
Число А наз-ся пределом y=f(x) x

®

¥

,

если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|(sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.
1. lim x
®
0
(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=
2.lim x
®
0
(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=
3. lim x
®
0
(sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=
Бином Ньютона: (a+b) n
=a n
+na n-1
b+(n(n-1)a n-2
b 2
)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4
b 4
)/4!+...+b n
.
(1+1/n) n
=1+n1/n+n(n-1)/2!n 2
+n(n-1)(n-2)/3!n 3
+...+1/n n
= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/n n
={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2 2
(1-1/n)(1-2/n)+1/2 3
(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n
< 2+0.5+1/2 2
+1/2 3
+...+1/2 n
=2+0.5(1-1/2 n
)/(1-0.5)=2+1-1/2 n
=3-1/2 n
<3.
2£(1+1/n) n
<3 => $ lim n
®
¥
(1+1/n) n
=e.
1.lim x
®
+
¥
(1+1/x) x
=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1) x
³(1/x+1) x
³(1+1/(n+1)) x

(1/n+1) n+1
³(1+1/x) x
³(1+1/(n+1)) n
lim n
®
¥
(1+1/n) n
(1+1/n)=e*1=e,· lim n
®
¥
(1+1/(n+1)) n+1
*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $lim x
®
+
¥
(1+1/x) x
=e.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной
в точке х 0
, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х 0
равный значению фун f(x 0
). limf(x)=f(x 0
)

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $lim x
®
x0-0
f(x) $lim x
®
x0+0
f(x) – конечные пределы; 3. lim x
®
x0-
f(x)=lim x
®
x0+
f(x);
Если Х 0
т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х 0
– 1 род
Если Х 0
– 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х 0
т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х 0
– 2род.
1.Если фун f 1
(x) и f 2
(x) непрерывны в точке х 0
, то сумма (разность) y(х)=f 1
(x)±f 2
(x), произведение у(х)=f 1
(x)*f 2
(x), а также отношение этих фун у(х)=f 1
(x)/f 2
(x), есть непрерывная фун в точке х 0
.
Док-во (суммы): По определению получ lim х
®
х0
f 1
(x)=f 1
(x 0
) и lim х
®
х0
f 2
(x)=f 2
(x 0
) на основании св-ва1 можем написать: lim х
®
х0
у(х)=lim х
®
х0
[f 1
(x)+f 2
(x) ]=
=lim х
®
х0
f 1
(x)+lim х
®
х0
f 2
(x)=f 1
(x 0
)+f 2
(x 0
)=у(х 0
). Итак сумма есть непрерывная фун.·
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х 0
, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z 0
=j(х 0
), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х 0
.
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале
или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке


Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке

(a;b)

, если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.
1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м Dy=Df(x 0
)=f(x 0
+Dx)-f(x 0
), Dy/Dx=(f(x 0
+Dx)-f(x 0
))/Dx.
Если $ lim Dx
®0
Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х­ 0
. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim Dх
®0
(f(x 0
+Dx)-f(x 0
))/Dx= =f /
(х)=df(x)/dx=dy/dx=y |
(x).
Производная фун f(x) в точке х 0
равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х 0

;
f(x 0
)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М 0
(при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.
y |
(x 0
)=lim D
х
®
0
(f(x 0
+Dx)-f(x 0
))/ /Dx=lim D
х
®
0
Dy/Dx=lim D
х
®
0
tga==lim a
®
a
0
tga=tga 0
.
N l
=y-f(x 0
)=-(x-x 0
)/f \
(x 0
).
1. y=U(x)+V(x), y |
=U |
(x)+ V |
(x)
. Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y |
=lim D
x
®
0
Dy/Dx = lim D
x
®
0
Du/Dx+ lim D
x
®
0
Dv/Dx=U |
(x)+V /
(x).
2. y=uv, y |
=u |
v+uv |

. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,
y |
= lim D
x
®
0
Dy/Dx= lim D
x
®
0
Duv/Dx + lim D
x
®
0
Dvu/Dx + lim D
x
®
0
DuDv/Dx={ lim D
x
®
0
Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u |
v+uv |
.
3. y=u/v, y |
=(u |
v-uv |
)/v 2
. Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)
4. y=a x
, y |
=a x
ln a.
Док-во: ln y=x ln a, y |
/y=ln a, y |
=yln a y |
=a x
ln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.


Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}
Правило нахождения:

Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)] /
=0 /
}
y (

n

)

=(uv) (n)
=(u) (n)
v+nu (n-1)
v |
+([n(n-1)]/[1*2])*n (n-2)
v ||
+…+uv (n)


Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х 0


, если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim D
x
®
0
O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.
Теорема

:

y=f(x) дифф-ма в т-ке Х 0
т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f \
(x 0
).
Необход усл-ие дифф-ти:

если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)
f \
(x 0
)=lim Dx
®0
Dy/Dx= lim Dx
®0
[(ADx+O(Dx))/Dx] = lim Dx
®0
(A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f \
(x 0
)Dx+O(Dx) => lim Dx
®0
Dy=0 => f(x) – непрерывна.
Достат усл-ие дифф-ти:

если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f \
(x 0
) – число, f \
(x 0
)=lim Dx
®0
Dy/Dx => Dy/Dx=f \
(x 0
)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f \
(x 0
)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f \
(x 0
)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim Dx
®0
O(Dx)/Dx=lim Dx
®0
a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.
Приближ знач ф-ии в некот т-ке:

Dy=f(x 0
+Dx)-f(x 0
) =>f(x 0
+Dx)=f(x 0
)+Dy»f(x 0
)+df(x 0
)=f(x 0
)+f \
(x 0
)dx, dx=Dx.

Название: Пределы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 11:30:40 08 августа 2005 Похожие работы
Просмотров: 751
Комментариев: 28
Оценило: 7 человек
Средний балл: 3.7
Оценка: 4   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Пределы
Дипломная работа по теме Менеджмент на торговом предприятии
Реферат по теме Искусство Древнего Ирана (с середины I тысячелетия до н.э.)
Сочинение Как Птицы Готовятся К Зиме
Реферат по теме СНІД: шляхи зараження, розвиток, профілактика
Сочинение На Тему Зачем Нужна Фразеология
Реферат по теме Личные продажи компании
Воздушные Линии Электропередач Реферат
Реферат: Внутренняя и внешняя среда туристского предприятия. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Ordinary Ppl Essay Research Paper Ordinary People
Что Такое Сила Духа Сочинение Рассуждение 15.3
В Чем Смысл Жизни Современного Поколения Сочинение
Реферат На Тему О Логической Культуре Юриста
Система Управления Земельными Ресурсами Реферат
Контрольная работа по теме Назначение, функции и классификация складов
Реферат по теме Економіка знань
Учебное пособие: Методические указания по дипломному проектированию по специальности 170500 «Машины и аппараты химических производств и предприятий строительных материалов»
Реферат: Государственное и муниципальное управление 3
Контрольная Работа На Тему Основи Ір-Мереж
Дипломная работа по теме Автоматизация расчета арендной платы производственных помещений ОАО Проминдустрия
Реферат по теме Законотворческий процесс
Реферат: Рэлiгiя ўсходнiх славян. Увядзенне хрысцiянства
Реферат: Шпоры к ГОСУ по мировой экономике
Реферат: Шпоры на госэкзамены