Реферат: Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Международная «Лига развития науки и образования» (Россия)

Международная ассоциация развития науки, образования и культуры России (Италия)

Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»

Тема : «Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента»

Выполнил: студент экономического факультета, группы 12-И Воробьев А.А.

Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из языков высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа значений функции для чего организовать хранение ее значении при помощи линейного списка.
Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой. Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа. Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.
Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования. Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях основным инструментом решения многих математических задач выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.
Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники.
Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным значениям или других величин, связанных с ней. В первоначальном понимании- восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.
Основное применение интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками». (П.Ф. Фильчаков)
Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.
Приближенное представление функций.
Интерпояционные функции на отрезке по значениям ее в узлах сетка - означает постоение другой функции такой, что В более общей постановке задача интерполирования функции состоит в постоении не только из условий совпадения значений функций и на стеке , но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных и .
где - некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы , а интерполяционным многочленом по системе .
Выбор системы определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения - периодической функции на за естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.
Чаще всего используя а л г е б р а и ч е с к о е интерполирование: . Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа
имеет вид:
В задаче приближения функции и на всём отрезке алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам и
на каждом отрезке или квадратичным по трем узлам , ,
на отрезке .
Эффективным аппаратом приближения функции являются интерполяционные сплайны,
но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.
На практике чаще всего используются параболические или кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция кубическим сплайном
дефекта 1 для функции относительно сетки называет функцию , являющуюся многочленом 3-й степени на каждом из отрезков , принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и удовлетворяющую условиям
При таком определении кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например или и , или некоторые другие.
Полиномиальный интерполяционный сплайн произвольной степени m
дефекта r
определяется как функция , удовлетворяющая, кроме условий и , еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции и интерполированной функции и их производных до некоторого порядка.
Часто при обработке эмпирических данных коэффициенты в определяют исходя из требования минимизации суммы
Такое построение функции называют интерполированием по методу наименьших квадратов.
Интерполирование функций многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n
может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n
.
Другой поход к интерполированию функции многих переменных стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной при фиксированных потом по следующей переменной при фиксированных и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.
Интерполирование функций и численные методы.
Интерполирование функции используется:
1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2.
для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3.
для получения сглаживающих функций
4.
для приближенного нахождения предельных значений функции
5.
в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.
Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения =0
и систем уравнения
, одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения =0
положена замена функции ее интерполяционным многочленом и последующим решением уравнения =0
берутся за приближенные решении уравнения =0
интерполяционный многочлен используется так же при построении итерационных методов решения уравнения =0
.
Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона
и метода секущих

где - разделенная разность функций для узлов и .
Другой подход к построению численных методов решения уравнения =0
основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0
берется величина .
Численное интегрирование
. Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:

где - знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции интерполяционным алгебраическим многочленом, построенным по корням ортогонального относительно веса многочлена степени n
.
Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном случае
Формулы численного дифференцирования,
в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.
При численном решении интегральных
уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x
узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.
Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции , основанного вычисления на замене приближаемой функции более простой в каком- то смысле функцией
наперед заданного класса, причем параметры выбираются так чтобы значения совпадали с известными заранее значениями для данного множества попаро различных значений аргумента:
такой способ приближенного представления функций называется интерполированием, а точки , для которых должны выполняться условия , - узлами интерполяции.
В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры могут быть явно выражены из системы , и тогда непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции .
Интерполяционный процесс-
процесс получения последовательности интерполирующих функций при неограниченном возрастании числа n
узлов интерполирования. Если интерполирующие функции представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом
. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.
Интерполяционные формулы Грегори- Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно далеко от интересующих нас значений функции или . Поэтому на средних участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены к центральной сотке, содержащей .
К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула Эверетта получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:
Формуле Эверетта так же можно придать форму, наиболее удобную для вычисления:
если для ее коэффициентов ввести обозначения
Коэффициенты удобнее всего вычислять по следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из :
Таблицу можно продолжать строить, в нашем случае до последнего , число разностей зависит от количества значений y.
Таблица разностей высчитывается
, и так далее(можно заметить такую систему в приведенной выше таблице)
П р и м е р. Функция задана таблицей на сегменте . Определим при помощи интерполяции значение .
Р е ш е н и е. По данным значениям функции составляем таблицу разностей (табл. 1), из которых видно, что четвертые разности в данном примере практически равны постоянны, а пятые разности практически равны нулю, и поэтому мы их в дальнейших вычислениях не будем принимать во внимание.
Тогда =0,8273695; =0,8075238, и, далее, так как шаг таблицы =0,05, то
Все вычисления по формуле Эверетта представлены в табл. 2.
Все необходимые значения разностей(и самой функции, которые мы в табл. 2 обозначили как разности нулевого порядка ) взяты из табл. 1. Первые три строки в табл. 2 заполнены значениями для и , а последующие три строки соответственно значениями для и .
Перемножив (не снимая промежуточных результатов) коэффициенты на расположенные в той же строке , мы и получим искомое значение функции , как сумму произведений
Проверка производится непосредственно при помощи степенного ряда для рассматриваемой функции Эверетта согласно которому получим
Удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. Составлена блок схема алгоритма и программа на языке С++ (Приложение) для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.
1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.: Наука,1988.
3. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1974.
5. Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.
6. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
8. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.
9. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.

Название: Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат
Добавлен 08:02:31 25 июня 2005 Похожие работы
Просмотров: 3450
Комментариев: 19
Оценило: 6 человек
Средний балл: 5
Оценка: 5   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Если Вам нужна помощь с учебными работами, ну или будет нужна в будущем (курсовая, дипломная, отчет по практике, контрольная, РГР, решение задач, онлайн-помощь на экзамене или "любая другая" учебная работа...) - обращайтесь: https://clck.ru/P8YFs - (просто скопируйте этот адрес и вставьте в браузер) Сделаем все качественно и в самые короткие сроки + бесплатные доработки до самой сдачи/защиты! Предоставим все необходимые гарантии.
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента
Курсовая работа по теме Электропитающие системы и электрические сети
Реферат На Тему Архитектурные Памятники Средней Азии
Реферат: Основні міжнародні правові акти про економічні та культурні права людини
Контрольная Работа На Тему Холодильная Обработка Мяса И Мясопродуктов
Курсовая работа по теме Современная политическая система российского общества
Контрольная Работа На Тему Мясорубка Мим–105м
Реферат: Классические стили руководства
Сочинение Великий А Куприн
Реферат: Армавир город, Армения
Сочинение На Лингвистическую Тему Словосочетание
Курсовая работа по теме Сталин в объятиях семьи
Понятие И Формы Источники Права Контрольная Работа
Контрольная работа: История создания и развития Российской прокуратуры. Скачать бесплатно и без регистрации
Жизнь И Судьба Сочинение
Дипломная работа по теме Роль подвижных игр в обучении детей старшего дошкольного возроста, английскому языку
Статья На Тему Особенности Исследования Индивидуальных Качеств И Поведения Человека
Елін Сүйген Елбасы Эссе
Сочинение По Литературе 9 Оброз Софии Фамосовой
Пищевая И Биологическая Ценность Молока Реферат
Отчет по практике: Выставка "Mitt-2010"
Реферат: Редактор формул MS Equation 2.0
Реферат: Греция: История, Географическое положение, Туристические точки
Реферат: Организация рекламной деятельности на фирме в условиях рыночных отношений