Реферат: Подвійний інтеграл його властивості

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Визначення об’єму циліндричного тіла.
Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої
, з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі
, знизу - площиною
.
Область
, що висікається в площині
циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною
і верхньою частиною кулі
.
Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція
неперервна в області

і що поверхня повністю лежить над площиною
, тобто
скрізь в області
.
Розіб’ємо область
якими-небудь лініями на
частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через
також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок
виберемо точки
і позначимо через
значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі
. Тоді циліндричне тіло буде розбите на
циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою
, в результаті дістанемо об’єм
- ступінчастого тіла:
Ця сума називається інтегральною сумою для функції
в області
.
Беручи об’єм
розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого
- ступінчастого тіла, вважатимемо, що
тим точніше виражає
, чим більше
і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при
вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр
).
Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує
при
:
Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на
Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції
(або
) за областю
, а її результат – означеним інтегралом від
по
і позначається так:
Маса тіла.
Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат
, задано тіло
(множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу
(
). Потрібно визначити масу тіла
. Розіб’ємо
на
частин
об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо
або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку
і тоді маса тіла
(по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює
Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією
, що задана в трьохвимірному просторі
.
Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)
), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:
До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.
Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в
вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.
Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1)
ми визначали для дуже простої множини – відрізку
який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі,
кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі
вимірної міри цих частин.
1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.
Поняття про міру Жордана 1)
.
В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області
і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число
яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:
1) якщо
прямокутник з основою
і висотою
то

3) якщо область
розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини
і
то
Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.
В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.
Поверхня називається гладкою
, якщо в довільній її точці
можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою
, якщо її можна
розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.
Для трьохвимірних обмежених областей
з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число
, що задовольняє таким властивостям:
1) якщо
прямокутний паралелепіпед з ребрами
то
3) якщо область
розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини
і
то
1)
К. Жордан (1838-1922) – французький математик
Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.
Означення.
Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.
Нехай в
вимірному просторі
задана обмежена область
з кусково-гладкою границею
і на
(або на
) задана функція
Розріжемо
довільним чином на частини
, що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині
по довільній точці
і складемо суму
яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції
що відповідає даному розбиттю.
Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум
коли максимальний діаметр частинних множин

(
) і вона не залежить від вибору точок
в
, а також не залежить від способів розбиття області
, то ця границя називається
кратним інтегралом від функції
на
(або по
). Отже,
Зауваження.
Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області
, чи для її замикання
не має значення, оскільки
де
кусково-гладка границя області
А кусково-гладка границя області має
вимірну міру нуль
.
2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

Будемо надалі вважати області
із кусково-гладкими границями.
Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область
розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини
що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що
За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа
в трьохвимірному – об’єм
В
- вимірному випадку формула (11.7) дає
- вимірну міру

Нижче ми допускаємо, що для функцій
,
,
, про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.
3 0
. Якщо область
з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини
і

то
Доведення властивостей 3 0
і 4 0
аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.
Дійсно, враховуючи, що
отримаємо в силу (12.8) (при
) і (4.10)

константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:
7 0
. ( Теорема про середнє
). Нехай функція
неперервна в замкнутій області
яку ми будемо вважати зв’язною 1)
. Тоді існує точка
така
, що виконується рівність
Д о в е д е н н я. Оскільки функція
неперервна в замкнутій області
то вона досягає в цій області свого найменшого
та найбільшого значень
Тому
Інтегруючи ці нерівності по
і використовуючи властивості 1 0
, 4 0
, одержимо
тобто число
знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції
В силу зв’язності
існує неперервна крива, що належить
,
і яка з’єднує точки
і
тобто така крива, що

неперервна на відрізку
(як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення

.
Але тоді за теоремою про проміжне значення функції
однієї змінної, існує таке
, що в точці
має місце рівність
1)
Множина
називається зв’язною
, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить

Зауваження.
Число
називається середнім значенням
неперервної функції
в області
.
Теорема існування.
Якщо функція
неперервна в замкнутій обмеженій області
з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на
так само, як і на
і

Название: Подвійний інтеграл його властивості
Раздел: Рефераты по астрономии
Тип: реферат
Добавлен 20:37:02 17 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 14
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Подвійний інтеграл його властивості
Дипломная работа по теме Анализ эффективности деятельности сталепрокатного производства ПАО 'Северсталь'
Контрольная работа по теме Расчет профиля конвертора и параметров кислородных фурм для доменной печи №8 Ново-Липецкого металлургического комбината
Контрольная работа: Планирование в процессе управления продажами
Курсовая работа по теме Анализ формирования и распределения доходов предприятия ОАО 'ИСКОЖ'
Моя Будущая Профессия Следователь Сочинение Краткое
Реферат по теме Территориальные закономерности экономического и политического развития
Учебное пособие: Специфика педагогического процесса
Скачать Реферат Соли Кислородных Кислот
Мотивы Лирики Блока Сочинение
Курсовая работа по теме Разработка информационной системы
Контрольная работа: Военное дело в античности
Реферат: Налоговое планирование на предприятиях
Сочинение На Тему Краски Золотой Осени
Реферат: «Классификация налогов»
Когда Будут Результаты Контрольной Работы
Реферат: Політичне життя в Україні 1993-2000 років
Тема чести в произведениях русских писателей 19 века
Курсовая работа: Эмиль Золя. Роль описания в натуралистическом романе Дамское счастье
Реферат: Survival Of The Passionate Essay Research Paper
Дипломная Работа На Тему Колесо
Доклад: Флоренский Павел Александрович
Реферат: Экономика труда (разделы: Рынок труда, Организация труда персонала предприятия, Расчёт трудовых показателей предприятия)
Курсовая работа: Экономический расчет оборудования АТП