Реферат По Математике На Тему Непрерывные Дроби
Реферат По Математике На Тему Непрерывные Дроби
Главная
Коллекция "Otherreferats"
Математика
Непрерывные дроби
История и сущность цепных дробей как математического выражения. Принципы разложения в непрерывную дробь. Приближение вещественных чисел к рациональным, особенности разработки солнечного календаря. Доказательство иррациональности чисел с помощью уравнений.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУК КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Томь-Усинский энерготранспортный техникум
3. Приближение вещественных чисел к рациональным
Цепная дробь (или непрерывная дробь) -- это математическое выражение вида
где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.
Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств, поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.
Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.
Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.
Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было.
Непрерывные дроби - последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.
Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью
Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n. В этом случае представляется конечной цепной дробью .
Для иррационального все величины будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае представляется бесконечной цепной дробью .
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.
3. Приближение в ещественных чисел к рациональным
Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству
· подходящая дробь является наилучшим приближением для среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ;
· мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:
Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском -- за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.
· Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана
· Решение в целых числах уравнения Пелля
и других уравнений диофантова анализа
· Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
· Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC
· Характеристика ортогональных многочленов
· Характеристика устойчивых многочленов
Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для ц не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что ц является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел.
Теорема Гурвица утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m / n так, что
Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m / n , которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k , чем эта верхняя граница, приближения для ц (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно от ц, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для р. Может быть показано, что любое действительное число вида ( a + b ц)/( c + d ц), a , b , c и d являются целыми числами, причём
обладают тем же свойством, как и золотое сечение ц; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.
дробь математический число уравнение
1. В.И. Арнольд. Цепные дроби. -- М.: МЦНМО, 2000. -- Т. 14. -- 40 с. -- (Библиотека «Математическое просвещение»).
2. Н.М. Бескин Цепные дроби // Квант. -- 1970. -- Т. 1. -- С. 16--26,62.
3. Н.М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. -- 1970. -- Т. 8. -- С. 10--20.
4. Д.И. Боднар Ветвящиеся цепные дроби. -- К.: Наука, 1986. -- 174 с.
5. А.А. Бухштаб. Теория чисел. -- М.: Просвещение, 1966. -- 384 с.
6. И.М. Виноградов. Основы теории чисел. -- М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. -- 180 с.
7. С.Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. -- Незлобная, 2009. -- 138 с.
8. И.Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. -- Изд. второе. -- М.: Просвещение, 1965. -- С. 253--254.
9. Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. -- М.: Наука, 1965.
10. С.В. Сизый. Лекции по теории чисел. -- Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
11. В. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. -- М.: Наука, 1983. -- 312 с.
12. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. -- М.: ГИФМЛ, 1960.
На протяжении многих веков на языках народов ломаным числом именовали дробь. Необходимость в дробях возникла на ранней ступени развития человечества. Виды дробей. Запись дробей в Египте, Вавилоне. Римская система дробей. Дроби на Руси - "ломаные числа". презентация [1022,3 K], добавлен 21.01.2011
Первая дробь, с которой познакомились люди в Египте. Числитель и знаменатель дроби. Правильная и неправильная дробь. Смешанное число. Приведение к общему знаменателю. Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби. Умножение и деление дробей. презентация [48,9 K], добавлен 11.10.2011
Из истории десятичных и обыкновенных дробей. Действия над десятичными дробями. Сложение (вычитание) десятичных дробей. Умножение десятичных дробей. Деление десятичных дробей. реферат [8,3 K], добавлен 29.05.2006
История арифметики остатков. Понятие остатка, наибольшего общего делителя, расширенного алгоритма Евклида и применение его для решения линейных диофантовых уравнений. Алгебраический подход к делимости в кольцах и разложение чисел в цепные дроби. дипломная работа [466,7 K], добавлен 23.08.2009
Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел. курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015
Появление слова "дробь" в русском языке в VIII веке. Старые названия дробей: полтина, четь, треть, полчеть, полтреть. Особенности древнеримской дробной системы. Л. Пизанский - ученый, который стал использовать и распространять современную запись дробей. презентация [2,5 M], добавлен 18.11.2013
Класс рациональных функций. Практический пример решения интегралов. Линейная замена переменной. Сущность и главные задачи метода неопределенных коэффициентов. Особенности, последовательность представления подынтегральной дроби в виде суммы простых дробей. презентация [240,6 K], добавлен 18.09.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2020, ООО «Олбест»
Все права защищены
Непрерывные дроби | реферат [8,3 K], добавлен 29.05.2006
Непрерывные дроби
Реферат Непрерывная дробь
Непрерывная дробь
Непрерывные Дроби Бесплатно Рефераты
Сенсорика И Компоненты Робототехники Реферат
Курсовая Количество Страниц
Реферат На Тему Магматизм И Магматические Породы
Реферат Про Компьютерные Вирусы
Сочинение На Какого Героя